答えがわからなくて悩んでいます。教えてください。
糸でつないだ物体Aと物体B(両方とも質量は同じm)が、天井から下がっているばねに下げられている。(物体Aがバネに取り付けられ、物体Aから糸でBがぶら下がっている)
糸の張力はSとする。
物体Aを手で持って、Bと一緒にばねが自然長のところまで鉛直方向に持ち上げて、手を離す。
このとき物体Bの単振動の周期と振幅を求めよ。
という問題です。
自分としては、物体Aと同じ動きをするのかなと思ったんですが、Bは糸でつながってるので上に上がったとき糸が縮んで振幅は大きくなるのかなど悩んでいます。
糸の長さとか糸がたるむかどうかとかの条件は書いてないです。
解法と考え方を教えてください。
よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
Bは、常にAと一緒に運動します。
理由:運動の途中で糸が弛むとしましょう。そのときには糸の張力が0になります。
バネが自然長だった時を、Aの座標y=0、Bの座標をY=0 としましょう。
A,Bの運動方程式は、下向きを正として
A: mα=mg-kx
B: mβ=mg
x>=0である限り※、 明らかに α<β です。
両物体は初速度0で動きだしたのですから、速度はBの方は常に下向きで、どんどん速くなる一方、Aはそれほど加速できず、Bに追随できないことを意味します。
つまり、A,B間距離は長くなる一方なのです。
これは、糸が弛まないという条件と矛盾します。
これより、糸は弛むことがない ことが結論づけられます。糸が弛まない限り、2物体間の距離は一定です。言い換えれば、A,Bは常に一緒に動くということです。
振幅Lは、釣り合いの位置までの距離ですから
kL=2mg L=2mg/k
周期Tは、 T=2π√(2m/k)
※力学的エネルギーは保存します。もし、A,Bが最初の位置より上に上がることがあれば、力学的エネルギー保存則に反しますから、xが負になることはありません。
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