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modの計算で解が負の数になることはあるのでしょうか?

たとえば,6x≡8 (mod 14) の解は,「-1」と「6」という答え方は正しいのでしょうか?
「6」と「13」だと思うのですが。


また,この問題の解の個数は2個でしょうか?
もしあっているとするなら,(6, 14) = 2 になるので,2個という考え方であっていますか?

よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

誤記訂正:


集合の記号で 3Z, 1+3Z, 2+3Z
と書くこともありますね。
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← A No.2 補足


よいです。

代表元は、あくまで代表であって、
それ自体が剰余系の元ではありません。
mod 3 の剰余系は、三個の集合を元に持つ集合
{ { 3n | n∈Z }, { 3n+1 | n∈Z }, { 3n+2 | n∈Z } }
(ただし Z は整数全体の集合) です。
毎回集合の記号で書くのが煩瑣なので、
{ 3n | n∈Z }, { 3n+1 | n∈Z }, { 3n+2 | n∈Z } の代わりに
0, 1, 2 と書いたり 6, 7, 8 と書いたりするのです。
2 を -1 と書いても ok。
三個の集合からひとつづつ代表をとってあれば、
0, 7, 32 とかでも、構わないっちゃ構いません。
まあ、あまり変な選び方は、好かれませんけど。
集合の記号で Z, 1+Z, 2+Z と書くことも、ありますね。
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mod 3 の代表元は,「0,1,2」ではなく,


「6, 7, 8」 の3つでも良いということなのでしょうか?

かまいませんが、分かりづらいので、
代表は、正の数でなるべく小さくする。
または、
絶対値がなるべく小さくなるようにする。

のどちらかにします。

ただし、合同式では、
整数をその余りによって分類します。各類から代表を採って計算を行う。
と考えれば、特別な代表の採り方によらないで成り立つ理論を考えることになります。

問題では、6の仲間は、6+14*kとなります。
これを代入すると、整数kにどんな整数を入れても、
6*(6+14*k)=36+6*14*k=8+2*14+6*14*k=8+14*(2+6*k)となり
14で割って8あまることになります。

どんな仲間に入っていれば合同式の答えになりますか?
と考えて、仲間をみつけます。

答えてしては、6の仲間、13の仲間 なら合同式を満たすことになります。
仲間は沢山いますので、答えになる類からは代表を1つずつ選びます。
分かりやすくの基準が2つあるので、-1、6 の人と、 6,13 の人に分かれます。
どちらも正解です。
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「-1 と 6」でも全く正しい答えだが、


「6 と 13」のほうが行儀はよいのかも知れない。
mod n の代表元は、0,1,2,…,n-1 にとるのが
好きな人は多い。つまらん拘りだけれど。

解の個数は、mod 14 の元として数えるのだから、
「-1 と 6」でも「6 と 13」でも 2 個
であることに違いはない。

答えを「-1 と 6 と 13」にしたら、アウト。

この回答への補足

早速のご回答ありがとうございます!

>mod n の代表元は、0,1,2,…,n-1 にとるのが
好きな人は多い。

ということですが,その場合,
mod 3 の代表元は,「0,1,2」ではなく,
「6, 7, 8」 の3つでも良いということなのでしょうか?

度々,すみませんが,よろしくお願いします。

補足日時:2012/07/20 00:00
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-1 ≡ 13 (mod 14) では?

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・法が素数の場合
2つの整数(5, 13)を7で割ったときの剰余の四則演算の例を以下に示します。

1. 加算
13 mod 7 = 6, 5 mod 7 = 5なので、(13 mod 7) + (5 mod 7) = 11 mod 7 = 4 … (1)
また、(13 + 5) mod 7 = 18 mod 7 = 4 … (2)
(1)と(2)は同じ値になるので、(13 mod 7) + (5 mod 7) = (13 + 5) mod 7

2. 減算
13 mod 7 = 6, 5 mod 7 = 5なので、(13 mod 7) - (5 mod 7) = 1 mod 7 = 1 … (1)
また、(13 - 5) mod 7 = 8 mod 7 = 1 … (2)
(1)と(2)は同じ値になるので、(13 mod 7) - (5 mod 7) = (13 - 5) mod 7

3. 乗算
13 mod 7 = 6, 5 mod 7 = 5なので、(13 mod 7) × (5 mod 7) = 30 mod 7 = 2 … (1)
また、(13 × 5) mod 7 = 65 mod 7 = 2 … (2)
(1)と(2)は同じ値になるので、(13 mod 7) × (5 mod 7) = (13 × 5) mod 7

4. 除算
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以下、剰余算の計算式を「13 mod 7 = 6」(13÷7の余りが6という意味)のように表します。suryaさんの読みやすいように適宜読み替えて下さい。

・法が素数の場合
2つの整数(5, 13)を7で割ったときの剰余の四則演算の例を以下に示します。

1. 加算
13 mod 7 = 6, 5 mod 7 = 5なので、(13 mod 7) + (5 mod 7) = 11 mod 7 = 4 … (1)
また、(13 + 5) mod 7 = 18 mod 7 = 4 … (2)
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    ≡ (1+(-1)^n) * 2^n
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合同式といのは、 本来はいろんな情報があってごちゃごちゃしてるんだけど、そのいらない情報を捨てることによって、知りたいことを見やすくするツールかな。

普通の整数は 負の数もふくめ ー3とか 5 とか そこで 例えば 5の余り だけをみる、つまり 余り以外の情報を捨て去る

1≡6 ≡-4 5≡0≡ー10  とかです。 (普通は  1≡6 mod(5) とか 書くけど 今は省略するね)

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