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雨滴落下の終端速度の問題です。

_________________________
d^2x/dt^2+adx/dt+bx=f(x) (a,bは定数)…(1)
dv/dt+bv/m=g(b.g.m.は定数)…(2)

非斉次の1階線形微分方程式(2)の一般解は、ひとつの特殊解(終端速度での等速直線運動を表す解)と非斉次項を0とおいた

dv/dt+bv/m=0

の一般解

v=Ce^-bt/m (Cは任意定数)の和 → d/dt(Ce^kt)=k(Ce^kt)を使った
v=mg/b+Ce^-bt/m
である。
_______________________________

というのが与えられて、
(1)t=0,初速度V=0
(2)t=0,初速度V=V0(>mg/b)

の場合を定系非斉次線型で解けという問題です。

問題の意味がよく分かってないので、問題になってないかもしれませんが、
この方法で雨滴の落下速度と終端速度を求めて頂きたいです。
できるだけ丁寧に書いて頂けると幸いです。おねがいします。

.

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意味 DV」に関するQ&A: (dv/dt)|……の意味

A 回答 (2件)

こんばんは。



このご質問、(1)式が何故ここに書かれているのか判りませんが、、
(2)式の解は、説明されているように、
v=mg/b+Ce^(-bt/m)
ですね。これを原式に代入してみれば、成立していることが確かめられます。

で、Cは任意定数(積分定数)なんですが、
まさに、これを初期条件を持って定めなさい、というだけでしょう。

t=0→e^0=1なので、
(1)V=0の場合、C=-mg/b
(2)V=V0 の場合、C=V0-mg/b
これを、v=・・の式に代入するだけです。
これが、「落下速度の式」になります。

どちらの場合も、t→∞にては、Ce^(-bt/m)→0ですから、
v→mg/b となります。これが、終端速度です。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。理解できました!

お礼日時:2012/07/23 22:57

(1)は強制振動ですから無関係ですね。



(2)が速度に比例する抵抗を受ける雨滴の落下の問題で、
この出題の指示は、おそらく常微分方程式の常道にしたがい定数変化法で解けという事ですね。

定数変化法では、斉次方程式の一般解が

v=Ce^-bt/m

なので、ここの定数Cを時間の関数C(t)として

v(t)=C(t) e^-bt/m

を非斉次方程式

>dv/dt+bv/m=g(b.g.m.は定数)…(2)

に代入するとC(t)の微分方程式になるのでこれを解いてC(t)を求めればいいです。

そのあとは初期条件にあう様に積分定数を定めて終了です。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。分かりました!

お礼日時:2012/07/23 22:55

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Q雨滴の運動方程式を解きたい

空気抵抗を無視して、垂直落下中水蒸気を吸着してでかくなる雨滴の運動を考える。雨滴の質量、半径、速度をそれぞれ、m(t),r(t),v(t)として、運動方程式・d{m(t)v(t)}/dt=m(t)g が与えられている。
ここで、m(t)=(4π/3)×r(t)の3乗、dm(t)/dt=k×4π×r(t)の2乗(k:比例定数)の関係がある。
t=0で速度0、雨滴半径a として運動方程式を解いて、v(t)を出さなくてはならないのですが、運動方程式に、与えられた式2つを入れて解こうとすると、つまずきます。
上見づらくてすいません・・・。あと問題も説明不足だったら言ってください。
アドバイスください。こうすれば微分方程式が解けるよ。みたいな感じで良いのでm(..)m お待ちしております

Aベストアンサー

空気抵抗を無視するのはどうかと思いますが、自分なりに解いてみました。雨滴の密度が入ってなかったので入れましたが、k に含まれているのなら ρ = 1 としてください。結果は t の1次の項と、t の-ρ/k 乗の項の差になったのですが、ρ/k の大きさによっては一定になるということでしょうかね。微分方程式の解は数式処理ソフトに頼りましたが全体を検算していないので、元の運動方程式に入れて成り立つか確認してください。

(運動方程式)
  d(m*v)/dt = m*g --- (1)

雨滴の半径を r [m]、密度を ρ [kg/m^2] とすれば、質量 m [kg] は
  m = 4/3*π*ρ*r^3
となります。r が時間 t の関数であれば
  dm/dt = 4*π*ρ*r^2*dr/dt
となりますが、ご質問の条件「 dm/dt = k*4*π*r^2 」と比較すると
  k = ρ*dr/dt
  → dr/dt = k/ρ --- (2)
です。もし k が定数なら、式(2)の両辺を t で積分して
  r(t) = k*t/ρ + C1 ( C1 は定数 )

t = 0 のときの半径を r0 [m] とすれば C1 = r0
したがって、r(t) = k*t/ρ + r0 より
  m(t) = 4/3*π*ρ*( k*t/ρ + r0 )^3 --- (3)
  dm/dt = 4*π*k*( k*t/ρ + r0 )^2 --- (4)

一方、運動方程式 (1) は、m と v を時間の関数とすれば
  d(m*v)/dt = v*dm/dt + m*dv/dt = m*g
だから、式 (3), (4)を代入して
  4*π*k*( k*t/ρ + r0 )^2*v + 4/3*π*k*( k*t/ρ + r0 )^3*dv/dt = 4/3*g*π*ρ*( k*t/ρ + r0 )^3
  → 3*v + ( k*t/ρ + r0 )*dv/dt = g*ρ*( k*t/ρ + r0 )/k
  → v(t) = g*ρ*( k*t + r0*ρ )/{ k*( ρ + k ) } + C2*( k*t + r0*ρ )^( -ρ/k ) t = 0 のとき v = 0 ならば C2 = -g*ρ^2*r0/{ k*( ρ + k )*( r0*ρ )^( -ρ/k ) }
  v(t) = g*ρ*( k*t + r0*ρ )/{ k*( ρ + k ) } - g*ρ^2*r0*( k*t + r0*ρ )^( -ρ/k )/{ k*( ρ + k )*( r0*ρ )^( -ρ/k ) }

空気抵抗を無視するのはどうかと思いますが、自分なりに解いてみました。雨滴の密度が入ってなかったので入れましたが、k に含まれているのなら ρ = 1 としてください。結果は t の1次の項と、t の-ρ/k 乗の項の差になったのですが、ρ/k の大きさによっては一定になるということでしょうかね。微分方程式の解は数式処理ソフトに頼りましたが全体を検算していないので、元の運動方程式に入れて成り立つか確認してください。

(運動方程式)
  d(m*v)/dt = m*g --- (1)

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Q空気抵抗の式について

空気抵抗は次式で求められるそうですが、なぜ2で除すのか理解できません。
      F=P*C*S*V^2/2
F:空気抵抗、P:空気密度、C:空気抵抗係数
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私なりに考えますと、投影面積(S)に速度(V)をかけてさらに空気密度をかけることで移動した空気の質量が求られ(S*V*P)、その空気は毎秒静止状態から速度Vまで加速されるので加速度がVとなり、力は質量と加速度の積より空気の密度*加速度となり(P*S*V^2)、結局Fは空気抵抗係数を式に加えることで、
      F=P*C*S*V^2
となり、2で除する必要がない気がするのですが・・・
宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

 
 
>> 物体は1秒間にVm進み、気体のほうは1秒間に1/2Vm進む、つまり物体に追い越される。「物体が気体を追い越しながら気体を押す」という点が理解し難い。 <<

 (申し訳ありません!この質問忘れてましたご免なさい。)


 メートルとか秒という巨視的なスケールで考えずに、気流の微小体積部分が微小時間の間に‥とイメージしましょう。物理学全般の定石です。

 「追い越しながら加速」ができるのは、物体の固体摩擦と流体の粘性摩擦があるためです。お互いがこすれ合うだけで相手を加速/減速できますよね。 流体の中では 微細部分どうしもこすれ合ってます。だから物体の表面からもらった速度が 広い範囲に次々と分配されて広がって薄まってゆきます。

 No.4の回答も微小な速度変化のつもりで書きました。(巨視的なスケールで考えてしまうと、V は直線変化と限らないので係数が 1/2 である説明になりません。)
これの元ネタは 力学エネルギの定義 です; 力Fで動いた距離dxの積 Fdx がエネルギの定義、 微小距離 dx の間の速度変化は直線と見なされるので時間積分して距離を求めると係数 1/2 が登場する‥というやつです。 で、ベルヌーイの定理の式は エネルギ保存の法則の式 そのまんまですから 係数 1/2 も素のママで登場してます。それが空気抵抗の式にも引き継がれてる、、、という系図です。



 余談;
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 大胆(かつ不正確)に例えれば、槍のような棒が飛んでる場合、前者は棒の側面を空気がなでる抵抗、後者は棒の正面の面積が空気と正面衝突する抵抗です。
 後者の場合、あまりに急な衝突で 周辺とのやり取りが間に合わないと いわゆる「断熱圧縮」になって空気が高温になります。スペースシャトルで、その高温空気が機体の内部に侵入し、金属が熔けて空中分解に至って乗員が死亡した事故が有名です。(事故当時 「 超音速で空気とこすれたための摩擦による熱が原因 」 という報道説明がよくありました。クルマのブレーキ過熱などの日常経験からの演繹でしょうが、流体力学的に正しいのは粘性抵抗の方ではなく慣性抵抗。後者が圧倒的に大きいです。超音速ゆえ断熱圧縮になり物体先端に集中しました。)

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=908588
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=901153

 もし流体に摩擦が無かったら; 上記の「粘性抵抗」も「慣性抵抗」も「揚力」も起きません。
 
 

 
 
>> 物体は1秒間にVm進み、気体のほうは1秒間に1/2Vm進む、つまり物体に追い越される。「物体が気体を追い越しながら気体を押す」という点が理解し難い。 <<

 (申し訳ありません!この質問忘れてましたご免なさい。)


 メートルとか秒という巨視的なスケールで考えずに、気流の微小体積部分が微小時間の間に‥とイメージしましょう。物理学全般の定石です。

 「追い越しながら加速」ができるのは、物体の固体摩擦と流体の粘性摩擦があるためです。お互いがこすれ合うだけで相手を...続きを読む

Q雨粒が一定速度なのはなぜ?

雨粒や自由落下するスカイダイバーは、なぜ一定速度になると加速しなくなるのでしょうか?
重力分のエネルギーは何になっているのでしょうか?
また、この原理は水中の泡の動きにも通用するのでしょうか?

どなたか分かりやすくご解説願います。

Aベストアンサー

終端速度と呼ばれていますね。

粘性のある媒質中を運動する物体には、抵抗力がかかります。空中の場合は空気の抵抗力、水中では水の抵抗力です。

この抵抗力の大きさは、媒質の粘性、物体の表面積などに関係しますが、それより大切なことは、物体の速度が大きくなればなるほど大きくなるということです。

で・・・・・

雨やダイバーの場合

下向きの重力により、しだいに速くなりますが、抵抗力もしだいに大きくなり、やがて、抵抗力=重力となります。この段階で加速が止まります。つまり、一定の速さになります(終端速度)。
スカイダイバーの場合は200km/時ぐらいだと聞いたことがあります。

水中の泡の場合

泡が発生したとき、浮力の方が重力より、大きいために、泡には上向きの加速度が生じて速度が大きく(しだいにスピードがついて)なります。それにともなって抵抗力も大きくなり、最終的には

浮力=重力+抵抗力

となり、つりあいの状態になります。ここで上昇速度が一定(加速が止まる)になります。

ただ、泡は上に上がるに従っって体積が大きくなり、浮力も大きくなります。従って終端速度に達するのかどうか、は検討の余地がありますね。

泡がぷくぷくと上昇するとき、どんどん速くなってそのまま水面に達するような気もしますね。そのあたりはよくわかりません。

ちなみに、

浮力=泡と同じ体積の水の重さ
重力=泡(気体)の重さ

です。

ストークス、終端速度 などで検索してみてください。

下のサイトの□の中に数字を入れたら計算できるみたいですよ!!

<<重力分のエネルギーは何になっているのでしょうか?>>

これは摩擦による熱の発生・空中で服などがばたばたといったり、水の泡がプクプクいったりする音のエネルギー(服や空気や水の振動エネルギー)等になってしまう というのが一般的な考えです。

参考URL:http://irws.eng.niigata-u.ac.jp/~chem/itou/ce/termvel.html

終端速度と呼ばれていますね。

粘性のある媒質中を運動する物体には、抵抗力がかかります。空中の場合は空気の抵抗力、水中では水の抵抗力です。

この抵抗力の大きさは、媒質の粘性、物体の表面積などに関係しますが、それより大切なことは、物体の速度が大きくなればなるほど大きくなるということです。

で・・・・・

雨やダイバーの場合

下向きの重力により、しだいに速くなりますが、抵抗力もしだいに大きくなり、やがて、抵抗力=重力となります。この段階で加速が止まります。つまり、一定の...続きを読む

Q物理の問題が分かりません。助けてください><

原点に静止していた質量m0 の雨滴が、単位時間にμ の割合で周囲の静止した水滴を取り込みながら重力場(加速度g)の中を落下してゆく。(1)t 秒後の質量m はどのような微分方程式に従うか、(2)t 秒後に雨滴の速度がv になった。雨滴の運動方程式を求めよ。(3)初期条件はどのように書けるか。(4)t 秒後の質量m を求めよ。(5)t 秒後の速度を求めよ。(6)t が大きくなるとどのような運動になるか。(7)t0 ではどのような運動となるか、(8) t 秒後の雨滴の位置を求めよ。(9)t→∞のとき、雨滴の位置はどのような式で表されるか。ヒント:質量が変化する運動なので、運動の第2 法則は本来の形dp/dt=f、p=mv
僕の回答は(1)md^x/dt^2(2)ma=mg-kv(3)v(0)=0(4)~(9)は分かりません。すみません。
僕の回答が合っているかと(4)~(9)の分からない問題を1つでも分かる方いらっしゃいましたらどうか回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(1)微小時間dt後の質量を考えると
m(t+dt)=m(t)+μm(t)dt
より
dm(t)/dt=μm(t)

(2)ヒントを使って
dp/dt=f
に代入すると
d(m(t)v(t))/dt=m(t)g

(3)v(0)=0
m(0)=m0
x(0)=0

(4)(1)の微分方程式を解いて
m(t)=m0e^(μt)

(5)(2)の微分方程式に(4)の結果を代入整理すると
dv/dt+μv=g
これを解いて
v(t)=(g/μ)(1-e^(-μt))

(6)v→g/μ
の等速運動

(7)問題の意図がよくわからない
たぶん加速度を求めろということだと思いますが
それなら(5)を微分してa(t)=ge^(-μt)の運動

(8)(5)の式を積分、初期条件を考慮して
x(t)=(g/μ)(t+e^(-μt)/μ-1/μ)

(9)(8)の式でe^(-μt)の項は無視できて
x(t)≒(g/μ)(t-1/μ)

Q雨滴の運動質量が変化する落体の運動で次の問題の式の解き方がわかりません。はじめ静止していた質量

雨滴の運動
質量が変化する落体の運動で次の問題の式の解き方がわかりません。

はじめ静止していた質量m0の雨滴が、単位時間にμの割合で周囲の静止した水滴を取り込みながら重力場の中を落下していく。
時間tのあとの速度を求めよ。

という問題で写真のような模範解答なのですが最後の(3)式の求め方がわかりません。
簡単な変数分離で解けるのでしょうか?

Aベストアンサー

No.1 です。

ご質問の「(3)の導き方」には触れていませんでしたね。

(3)の式は、(2)において
  p = mv   (4)
という「運動量」に置き換え、
  dp/dt = mg
という「ニュートンの運動方程式(F = ma = m(dv/dt) = dp/dt )」そのものにしてから、右辺の「力: F=mg」の項に
  m = m0 + μt
という「質量の時間変化」を代入し
  dp/dt = ( m0 + μt )g
これを時間で積分して
  p = m0gt + (1/2)μgt^2
ここで上記(4)により
  p = mv = ( m0 + μt )v
に戻して
  v = p/m = [ m0gt + (1/2)μgt^2 ] / ( m0 + μt )
としたものでしょう。

 ただし、これは「燃料を消費して軽くなりながら進むロケット」のような場合で、軽くなった(あるいは重くなった)質量は、その場で「異なる速度を持って離れる(または合体する)」という場合です。
 雨のような自然重力落下の場合には、空気の抵抗を考えなければ、雨滴に取り込む周囲の「水滴」も重力で加速されているので、合体する前に同じ速度を持っているはずです。この考え方の基づいたのがNo.1の回答です。

 でも、ご質問の問題をよく読むと、「周囲の静止した水滴を取り込みながら」と書いてありますね。
この場合には、(2)式の左辺は「質量と速度の両方が変化する運動量として取り扱う」ことが必要で、上記のような式変形になります。
 「静止している(=運動量がゼロ)水滴を取り込む」ので、質量が変化しない自然落下に比べると加速が悪く、落下は遅くなります。

 質問文をよく読まない回答で、申し訳ありませんでした。

No.1 です。

ご質問の「(3)の導き方」には触れていませんでしたね。

(3)の式は、(2)において
  p = mv   (4)
という「運動量」に置き換え、
  dp/dt = mg
という「ニュートンの運動方程式(F = ma = m(dv/dt) = dp/dt )」そのものにしてから、右辺の「力: F=mg」の項に
  m = m0 + μt
という「質量の時間変化」を代入し
  dp/dt = ( m0 + μt )g
これを時間で積分して
  p = m0gt + (1/2)μgt^2
ここで上記(4)により
  p = mv = ( m0 + μt )v
に戻して
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Q「以降」ってその日も含めますか

10以上だったら10も含める。10未満だったら10は含めない。では10以降は10を含めるのでしょうか?含めないのでしょうか?例えば10日以降にお越しくださいという文があるとします。これは10日も含めるのか、もしくは11日目からのどちらをさしているんでしょうか?自分は10日も含めると思い、今までずっとそのような意味で使ってきましたが実際はどうなんでしょうか?辞書を引いてものってないので疑問に思ってしまいました。

Aベストアンサー

「以」がつけば、以上でも以降でもその時も含みます。

しかし!間違えている人もいるので、きちんと確認したほうがいいです。これって小学校の時に習い以後の教育で多々使われているんすが、小学校以後の勉強をちゃんとしていない人がそのまま勘違いしている場合があります。あ、今の「以後」も当然小学校の時のことも含まれています。

私もにた様な経験があります。美容師さんに「木曜以降でしたらいつでも」といわれたので、じゃあ木曜に。といったら「だから、木曜以降って!聞いてました?木曜は駄目なんですよぉ(怒)。と言われたことがあります。しつこく言いますが、念のため、確認したほうがいいですよ。

「以上以下」と「以外」の説明について他の方が質問していたので、ご覧ください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?qid=643134


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