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「地表で、ばねの長さを半分にし、単振り子は糸の長さを半分にして鉛直面内で振らせるとき。

ただし、ばねの長さを半分にするとばね定数は2倍になる。」

この問題の単振り子、ばね振り子のそれぞれの周期を教えてください。

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A 回答 (1件)

「地表で、……振らせるとき。

」で切れてしまっていて、問題がはっきりしませんが。


最後にある「それぞれの周期」がいくらになるかは、具体的な条件(ばね定数とか糸の長さとか)がわからないと答えられないので、

……振らせるとき、元の周期の何倍になるか

というようなこととして、回答します。

ばね振り子の周期は T=2π√(m/k) なので、k が 2倍 になると T は1/√2倍になります。
単振り子の周期は T=2π√(L/g) なので、L が 1/2 になると T は 1/√2倍になります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2012/08/02 23:12

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Q単振り子の運動方程式

重力加速度g、質量m、紐の長さl、空気抵抗無視。

単振り子の運動方程式はこうなりますよね。
mlθ"=-mgsinθ
これがよくわからないのです。
どういう座標系についての運動方程式なのですか?

軌道にそってx軸を定めると
θl=x
mx"=-mgsinθ  軌道に沿った運動方程式?
⇔mlθ"=-mgsinθ  どういう座標系の運動方程式なの?
そしてこれの一般解はどういう風になりますか?
初期条件としてt=0でθ=φとします。

Aベストアンサー

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」などとわざわざ断っていないわけです。
極座標系に移行したことで問題の本質はx(t), y(t)の代わりにl(t), θ(t)を求めることに帰着します。大抵の場合はひもは伸び縮みしないと仮定しますのでlについて解く必要はなく、θについてのみ解くことになります。その方程式が
ml(d^2θ/dt^2)= -mg sinθ  (3)
なわけです。

しかしこの方程式は初等関数の範囲では解くことが出来ません。そこで初等物理の範囲ではθが小さい場合に限って問題を考えることにし、
sinθ≒θ  (4)
の近似を行って解きます。このとき(3)は
ml(d^2θ/dt^2) = -mg θ  (5)
となります。これの解き方はいろいろあります。線形微分方程式の理論を知っていれば解は直ちに
θ= C sin{√(g/l) t+α} ←Cは定数  (6)
だと分かります。αはC sinα=φを満たす定数です。
2階の微分方程式ですが初期条件が「t=0でθ=φ」の一つしか与えられていないので、定数が一つ未定のまま残ります(*1)。

愚直に微分方程式を解くのであれば下のようにやります。
l(d^2θ/dt^2)(dθ/dt) = -g θ(dθ/dt)
d/dt {(dθ/dt)^2} = -(g/l) d/dt (θ^2) ←両辺に(dθ/dt)をかけた上で、積の導関数の公式((y^2)'=2y y')を逆に使った
(dθ/dt)^2 = -(g/l) θ^2 +C1 ←C1は積分定数
dθ/dt = √{-(g/l) θ^2 +C1}  (7)
ここでθ=√(l/g)√C1 sinψと変数を変換すると
dθ/dt = √C1√(1-sin^2 ψ)  (8)
を経て
√(l/g)√C1 cosψ dψ = √C1 cosψ dt  (9)
と変形でき、両辺を積分することで
√(l/g) ψ= t+C2 ←C2は積分定数  (10)
を得ます。θの表式に戻すと
θ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g) (t+C2)}  (11)
となります。これは本質的に(6)と同じ式です。初期条件「t=0でθ=φ」を代入することで
φ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g)C2}  (12)
を得ます。これを使うと(11)からC1, C2のいずれかを消去できます。初期条件がもう一つあれば運動は一意に定まります(脚注参照)。

もちろん、「軌道に沿ってx軸を定める」でも解けます。この場合の運動方程式は
m(d^2 x/dt^2)= -mg sin(x/l)  (13)
となります。本質的に(3)と同じであることは申し上げるまでもなく、同様に解くことができます。

考え方は上記でよいはずですが中間で計算ミスがあるかも知れませんので、ONEONEさんご自身でも確認しながら読んで頂けると幸いです。

*1 もし初期条件が「t=0でθ=φまでおもりを持ち上げて手を放す」という意味であれば、「θの最大値はφ(厳密には|φ|)」という条件が新たに加わるので運動は一意に定まります。この場合はφsinα=φからα=π/2、よってθ=φsin{√(g/l) t+(π/2)}=φcos{√(g/l) t}と求めることができます。

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」...続きを読む

Qシンクロスコープ 「θ=sin-1×B/A」で位相差θが求まる意味が分かりません↓↓ 誰か教えてください。

オシロスコープの事で「θ=sin-1×B/A」(sin-1=アークサイン)の公式で何で位相差θが求まるのかが分かりません??
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Aベストアンサー

下記のサイトが参考になるのではないでしょうか。

参考URL:http://www.isc.meiji.ac.jp/~miura/miura/exp.html

Qばね定数?単振動?

振動周期が T=2π√(m/k)
ばね定数が k=mg/l

なので、振動周期Tは
T=2π√(l/g)

結局、振動周期Tは、ばねの長さだけに影響される
と考えていいんでしょうか?

質量が関係するとは思うのですが...

Aベストアンサー

<<結局、振動周期Tは、ばねの長さだけに影響される>。

そのとおりともいえるし、そうでないともいえます。

この場合、ばねの長さl はおもりの重さ(質量)できまりますね。

つまり、重たいおもりをつけたら、lが大きくなる。

ですから、このl のなかに、おもりの質量が「含まれて?」いるのです。

結局、ばねの長さに影響されるということは、おもりの質量に影響されているということです。

ところで、単振動の本質は

質量mの物体に 

f=-kx

というかたちの復元力がはたらいたときに生じる運動 ということです。

そのとき、その周期Tは

T=2π√(m/k)  

となるのですね。

いつでも、この基本式に立ち戻って考えてください。



おもりをつけて手をはなして、つりあいの位置からxだけのびたときにおもりにはたらく力が xmg/l

これがf=-kxの kx したがって k=mg/l

したがってT=2π√(m/k)=2π√(m/(mg/l))=2π√(l/g)

ということです。


ひもの長さ、重力加速度の大きさ、おもりの質量など のみにまどわされることはなく、式が導かれます。

<<結局、振動周期Tは、ばねの長さだけに影響される>。

そのとおりともいえるし、そうでないともいえます。

この場合、ばねの長さl はおもりの重さ(質量)できまりますね。

つまり、重たいおもりをつけたら、lが大きくなる。

ですから、このl のなかに、おもりの質量が「含まれて?」いるのです。

結局、ばねの長さに影響されるということは、おもりの質量に影響されているということです。

ところで、単振動の本質は

質量mの物体に 

f=-kx

というかたちの復元力がは...続きを読む

Q偏差平方和の式

初歩的な質問で恐縮です。相関分析の参考書に
Sx=Σ(xi-xbar)^2=Σxi^2-(Σxi)^2/n
とあります。
この式の証明方法を教えていただけないでしょうか?
この分野はあまり得意でなく困っております。
言葉を添え丁寧に教えていただくと助かります。
勝手申しますが、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

個人的な書きやすさのため
xbarをaverage(x)って書き

xiをx(i)と書くことにする。

なお
Σ(x(i))^2は (x(1) + x(2) + x(3))^2を
Σ(x(i)^2)は (x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2)を
それぞれ意味するものとする。
 平均って,定義から明らかに
average(x) = Σ(x(i))/n ・・・A
だよな。

Σ(x(i) - average(x))^2
=(x(1) - average(x))^2
+(x(2) - average(x))^2
+(x(3) - average(x))^2
+…
+(x(n) - average(x))^2

=(x(1))^2 - 2 * x(1) * average(x) + (average(x))^2
+(x(2))^2 - 2 * x(2) * average(x) + (average(x))^2
+(x(3))^2 - 2 * x(3) * average(x) + (average(x))^2
+…
+(x(n))^2 - 2 * x(n) * average(x) + (average(x))^2

= Σ(x(i)^2) - 2 * average(x) * Σ(x(i)) + n * (average(x))^2

ここでAをaverage(x)に代入すると

Σ(x(i)^2) - 2 * average(x) * Σ(x(i)) + n * (average(x))^2
= Σ(x(i)^2) - 2 * Σ(x(i)) / n * Σ(x(i)) + n * (Σ(x(i)) /n )^2
= Σ(x(i)^2) - 2 * Σ(x(i)) ^ 2 /n + Σ(x(i))^2 / n
= Σ(x(i)^2) - Σ(x(i))^2 / n

個人的な書きやすさのため
xbarをaverage(x)って書き

xiをx(i)と書くことにする。

なお
Σ(x(i))^2は (x(1) + x(2) + x(3))^2を
Σ(x(i)^2)は (x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2)を
それぞれ意味するものとする。
 平均って,定義から明らかに
average(x) = Σ(x(i))/n ・・・A
だよな。

Σ(x(i) - average(x))^2
=(x(1) - average(x))^2
+(x(2) - average(x))^2
+(x(3) - average(x))^2
+…
+(x(n) - average(x))^2

=(x(1))^2 - 2 * x(1) * average(x) + (average(x))^2
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Qtanxのマクローリン展開について

「f(x)=tanxのマクローリン展開をn=3まで求めなさい」という問題について、悩んでいます。

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1/(cosx)^2=1+(tanx)^2という公式をフル活用します。
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Q身長のパーセンタイル値を計算したいのですが

パーセンタイル値の計算方法がわかりません。
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という公式があるようですが、この使い方もわかりません。

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 正規分布の確率密度関数から計算される存在確率を使用します。 存在確率の具体的な数値は、各種便覧に載っています。 この表で、存在確率に対応する標準偏差値を求めこれから計算します。
 存在確率=5% → 便覧などより → -1.645σ
 1686+55.0*-1.645=1595.5となります。
 御質問で言うところの係数は、-1.645などがそれです。

 パーセンタイルの具体的な数値は、Excelでも計算できます。
 Excelのセルに「=norminv(確率,平均,標準偏差) 」と書き込むと、確率に相当するパーセンタイル値が表示されます。
 この場合だと、=norminv(0.05,1686,55) と入れると、1595.5が得られます。
 パーセンタイル値は低い方から数えるので、背の高い方の5%なら、=norminv(1-0.05,1686,55) で、1758.5になります。

 ところで、世に言う「偏差値」は、平均を50として「50±10*σ」で表しますから、偏差値70とは+2σに位置する者であり、+2σの存在確率は2.3%、100人に2人くらいしかいない訳です。

参考URL:http://osk.t.u-shizuoka-ken.ac.jp/~tateyama/lecture/STAT/ndist.html

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Q流量計算方法

横に配管してある内径100ミリの水位が半分の50ミリのときで、流速が3m/sの時の流量を求める計算はどんようにすれば良いのでしょうか。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

こんにちは
流量=断面積×流速

断面積(A)は、水位が半分なので、ちょうど半円の面積となりますよね。
よって、
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これより、流量(Q)は
Q=A*V
 =0.0039×3
=0.0117m3/s
=(702L/min)

となります。

※上記は単純計算です。
 配管内が半充水ということは、排水管かなにかでしょうか?
 おそらく勾配もついているのではないでしょうか?
 こうなると、もっと複雑な計算となります。
 (マニングの式というものを使います)
 ご確認ください。
 

Qヤング率の測定

学校の実験でわからないことがあるので教えてください。

ヤング率を求めるために使用したユーイングの装置に重り(200g)をかけ、これを1つずつ増やして400gの場合までその都度、尺度望遠鏡で尺度目盛りを読んでいったのです。
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理由がわかる方いらっしゃいましたらお願い致します。

Aベストアンサー

おもりを全く乗せないときのたわみ量をy[0]、
一つ乗せたときのそれをy[1]、
以下、n個乗せたときのそれをy[n]とします。

最初のおもりを乗せたときのたわみ量の増分は
y[1]-y[0]   (1)
次のおもりを乗せたときの増分は
y[2]-y[1]   (2)
その次のおもりについては順に
y[3]-y[2]   (3)
y[4]-y[3]   (4)
となります。
mag44tedさんの実験では5個までおもりを乗せていますから、増分の最後は
y[5]-y[4]   (5)
となります。

さて200gのおもりに対するたわみ量のデータが5つ得られましたので、これを平均してみましょう。(1)~(5)を足して5で割ればよさそうなのですが・・・
{y[1]-y[0]+y[2]-y[1]+y[3]-y[2]+y[4]-y[3]+y[5]-y[4]}÷5
={y[5]-y[0]}÷5   (6)
となって、実際に活用されているデータはy[5]とy[0]だけ、すなわち2点だけで平均を取っていることになってしまいます。y[1]~y[4]はせっかくデータを取ったのに計算に入ってきていません。

これは差分データを取って最後に平均するときにしばしば遭遇する落とし穴です。
ではどうすればよいのかというと以下のようにやります。データは加算か減算かで1回だけ使い、差し引きでデータが消えてしまわないようにするのです。

今回はおもりを5個乗せていますから、y[0]~y[5]までの6つのデータがあります。それを上半分(y[5]~y[3])と下半分(y[2]~y[0])の2グループに分け、以下のように組み合わせて
y[5]-y[2]   (7)
y[4]-y[1]   (8)
y[3]-y[0]   (9)
の3つの差分を作ります。いずれもおもり3個分に対するたわみ量の増分に相当します。これを図的に表すと下のようになります。(等幅フォントでご覧下さい。少しずれがあるかも知れませんので補正しながら読んで下さい)

y[0] y[1] y[2] y[3] y[4] y[5]
 ─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼
      ┗━━━━━┛→(7)
    ┗━━━━━┛→(8)
  ┗━━━━━┛→(9)

(7)~(9)を足して平均をします。この平均は
(y[5]-y[2]+y[4]-y[1]+y[3]-y[0])÷3   (10)
ですから、(6)のように差し引きで消えてしまうことはありません。ただし(10)はおもり3個分に対する歪みの増分ですから、おもり1個分に換算するにはさらに3で割って下さい。

あとは数式に当てはめればヤング率を求めることができます。

参考URLのページなどもぜひ読んでみて下さい。
http://www.kdcnet.ac.jp/buturi/kougi/buturiji/young/exp1.htm

参考URL:http://www.kdcnet.ac.jp/buturi/kougi/buturiji/young/exp1.htm

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一つ乗せたときのそれをy[1]、
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次のおもりを乗せたときの増分は
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その次のおもりについては順に
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y[4]-y[3]   (4)
となります。
mag44tedさんの実験では5個までおもりを乗せていますから、増分の最後は
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さて200gのおもりに対するたわみ量のデータが5つ得られま...続きを読む

Q速度ポテンシャルと流れ関数

二次元非圧縮性流れでx,y方向の速度成分が

u=2xy
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であるとき、速度ポテンシャルφ、流れ関数ψの
求めからが分かりません。

ぜひ、教えてください。

Aベストアンサー

W(z)=φ+iψ とおくと、

dW/dz = u-iv
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   = -i(z^2+1)

より、両辺をzで積分して

W(z) = ∫(-i(z^2+1))dz
   = -i(z^3/3 + z) + const.
   = -i((x+iy)^3/3 + (x+iy) + C0+iC1
   = x^2y-y^3/3+y+C0 + i(xy^2-x^3/3-x+C1)

よって

φ = x^2y-y^3/3+y+C0
ψ = xy^2-x^3/3-x+C1

となります。


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