数学 複利法

チャート式数II＋Bに掲載されている、複利法の練習問題に関してです。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

上のサイトで質問されていらっしゃる方と同じ質問でした。
おおよその流れは分かったのですが、大きく引っかかっている部分があります。

それは、解答された方の中で上から二番目の方の解説なのですが、
引用：
「さて、実際には、毎年ｎ回で返済するとすると、
単純にｎで割ると、利息を払いすぎです。
つまり、１年後に返した金額の元金分は、その後利息を払わなくていいはずです。」
というところです。

この、利子を払いすぎている、というのが全く分かりません。
単純に、ｘ円ｎ回払ってるのだから、返済金額の合計はｎｘ円なんじゃないの？とか考えてます。

この内容を理解されている方からすれば「何考えてるの？」とおっしゃりたくなるかもしれません。
しかし、本当に悩んでいるので、具体的な解説をどうかよろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： suko22 回答日時： 2012/08/07 07:37

ちょっと上手く説明できるかわかりませんが、

リンク先のページでベストアンサーに選ばれている方の考え方をフォローする形で、
私なりに説明してみたいと思います。

n年間一度も返さずに最後に一括返済するとなると、返済額は
1年後A(1+r)
2年後A(1+r)(1+r)=A(1+r)^2・・・1年間に元金がA(1+r)に増えていてそれにさらに利息がかかる
3年後A(1+r)(1+r)(1+r)=A(1+r)^3・・・2年間に元金がA(1+r)^2に増えていてさらにそれに利息がかかる

・
・
・
n年後A(1+r)^n・・・この額を最後に一括して返済する・・・(1)

借り入れがAで毎年x円ずつ返していく場合、
＞さて、実際には、毎年ｎ回で返済するとすると、
＞単純にｎで割ると、利息を払いすぎです。
1年ごとに未返済の金額に対して(1+r)倍返済額が増えていきます。
「未返済額に対して利息分の上乗せがある」というのがポイントです。

毎年返済しないと、上記で示したように、元本が毎年(1+r)倍膨らんでいきます。
それに1年ごとに(1+r)倍の利息を加えた利率が乗ぜられるので1年目より2年目、
2年目より3年目のようが利息額が大きくなります。

1年ごとにx円返済する方式ですと、返済後の未返済残高が減少しています。
その未返済残高に対して(1+r)倍の利息を加えた利率が乗ぜられます。

毎年返済しない場合とする場合では未返済額に差がでます。
当然ですが、毎年返済しないと利息額はどんどんおおきくなります。
なぜなら未返済額に毎年利率(1+r)が乗ぜられるからです。
毎年いくらかでも返済していると未返済額は一般的に減少しますから1年間に発生する
利息額は全く返済しない場合に比べて少なくなります。

で、本題に戻りますが、毎年返済する場合には返済後の未返済額が減っていますから、
次の年はその未返済額に(1+r)倍されたものが未返済額として残ります。
ですので、全く返済しないで利息計算されたA(1+r)^nに対して、
毎年ｘ円ずつ返済していくと総返済額が減り、それに次の年に(1+r)倍されますから、
明らかに利息の額は毎年返済するほうが少なくて済みます。
だから、全く返済しないで計算されたA(1+r)^nを単純にnで割ると
利息の払いすぎになってしまいます。（∵未返済金額×(1+r)倍ですから）

--------
1年目にｘ円返済したとき、未返済額はA-x円になります
もしｘ円を返済しなかったら未返済額はA円になります

1年後未返済額は
ｘ円返済しているときは未返済額は(A-x)(1-r)
返済していないときは未返済額A(1+r)
となります。

あきらかに返済しているほうが次年度の返済していないほうより未返済額は減少します。
→要は返済利息額が少なくて済むということです。

では初年度にｘ円返済した分をもし返済しなかったらどれだけ利子がかかったかを考えると、
n年間ではx(1+r)^n-1となります。
→初年度にｘ円返済すると、そのn年後の価値はx(1+r)^(n-1)になるということです。
　だから「初年度にｘ円返済＝n年後x(1+r)^(n-1)返済」という式が成り立ちます。

以降2年目にもｘ円返済したら、n年後の価値はx(1+r)^(n-2)となります。

この考え方で行くと毎年x円払いn年間で返済するということは、
毎年x円払っているのだから総額はnx円ですが（これはx円を繰り上げ返済していることの利益
を考慮していません）、
n年後の価値をを考えて返済総額を計算すると、
x(1+r)^(n-1)+x(1+r)^(n-2)+・・・+x(1+r)^(n-n)・・・(2)
となります。

よって、n年後の返済総額で計算した(1)と(2)が等しいという等式になります。

先に返済するということはその後の返済額に対する利息は掛からないということを意味します。
そしてその価値は残りの年数分の利率をかけた分だけ価値が上がることになるので、(2)のような
計算式が算出できます。


視点があちこちいってしまいわかりにくかったかもしれません。
よくじっくりわかるまで考えてみてください。
参考になれば幸いです。

なにかあれば補足してください。

この回答への補足

詳しい説明ありがとうございました。

利子の払い過ぎ、に関してはかなり理解できてきました。

この問題ももうちょっとで理解できそうなのですが・・・もう少し付き合っていただければ幸いです。


A(1+r)^n＝x(1+r)^(n-1)+x(1+r)^(n-2)+・・・+x(1+r)^(n-n)
この等式の意味は分かってきました。
しかし、右辺の式がなにか「数学の問題」を解くために作られたような式としか見えないのです。（主観的な感覚なのでうまく言葉で表現できませんが・・・）
無理やり、といったほうがわかりやすいかもしれません。

右辺の式は、無理やり作ったものなのですか。それとも必然的に作られる式なのでしょうか。
自分でもよく質問の意図がわかりませんが・・・（笑）
ただ、なにか作為的に感じるのです・・・。

補足日時：2012/08/07 23:38

No.3 回答者： suko22 回答日時： 2012/08/08 01:07

#2です。

こんばんは。

＞しかし、右辺の式がなにか「数学の問題」を解くために作られたような式としか見えないのです。
＞（主観的な感覚なのでうまく言葉で表現できませんが・・・）
＞無理やり、といったほうがわかりやすいかもしれません。

＞右辺の式は、無理やり作ったものなのですか。それとも必然的に作られる式なのでしょうか。

右辺の式は普通に考えたらこうなるという意味では必然かな。
右辺の式は偶然等比数列の和を利用する式になっているので、複利法と等比数列の理解を試す問題として取り上げられたと考えてよいのではないでしょうか。


＞ただ、なにか作為的に感じるのです・・・。
私は感じませんでしたけどね。（鈍感なのかも？）
そういや複利法ってどうだったかな？という興味でこの質問を開き、
自分でああだこうだと考えながら、回答させてもらいました。
複利の考え方は慣れるまで難しく感じると思います。
ただ、この問題を等比数列の問題と見たときには基本的な問題です。

作為的？というのが具体的にどういうところを指して指摘されているのかが
よくわからないので、ちょっと質問の意味がよく理解できません＾＾；

＞この問題ももうちょっとで理解できそうなのですが・
頭が煮詰まってきたら少し休憩して、時間、日にちを改めて考え直すといいかも。
完全に理解できるまで頑張ってください。

またなにかありましたら補足してください。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

たぶん「慣れ」の問題だと思います、すみませんでした（笑）。

もう一度よく解きなおしてみて類題も解いてみたいと思います。

お礼日時：2012/08/08 23:28

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/08/07 01:13

具体的に数字を入れてみればわかるんじゃないかなぁ.

例えば, 1万円を年利 5% で借りて, 毎年 1000円ずつ返すことにします. このとき, (期首基準で利息を計算すると) 1年後の残額は
10000×(1+0.05) - 1000 = 9500円
です. この次を計算するときに, 「1万円に対する利息」を計算していい?

この回答へのお礼

ありがとうございました。

そうですよね、確かに変でした。
もう一度解きなおしてみます。

お礼日時：2012/08/08 23:29