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座標平面上の点(a、b)でaとbのどちらも整数となるものを交子点と呼ぶ。
y=3x^2-6xで表される放物線をCとする。
nを自然数とし、C上の点P(n、3n^2-6n)をとる。原点をO(0,0)とする。
Cと線分OPで囲まれる図形をDとする。
ただし、Dは境界を含むとする。
0≦k≦nを満たす整数kに対して、直線y=k上にありDに含まれる交子点の個数をf(k)とする。

(1)f(k)を求めよ。

(2)Dに含まれる交子点の個数を求めよ。

(3)f(k)が最大になるようなkを求めよ。


答え
(1)f(k)=-3k^2+3nk+1

(2)1/2(n+1)(n^2-n+2)

(3)nが偶数の時、k=n/2
nが奇数の時、k=n±1/2


いろいろな分野の内容が入ってるみたいで、
どう解き始めたらよいかさっぱりです。
解ける方がいらっしゃいましたら、
解説お願いしますm(__)m

A 回答 (1件)

座標平面上の点(a、b)でaとbのどちらも整数となるものを交子点と呼ぶ。


y=3x^2-6xで表される放物線をCとする。
nを自然数とし、C上の点P(n、3n^2-6n)をとる。原点をO(0,0)とする。
Cと線分OPで囲まれる図形をDとする。
ただし、Dは境界を含むとする。
>0≦k≦nを満たす整数kに対して、直線y=k上にありDに含まれる交子点の個数をf(k)とする。
x=kとすると答えと合うので、これで考えます。
y=3x^2-6x
=3(x^2-2x+1)-3
=3(x-1)^2-3より、
x=1のとき、放物線Cの最小値-3

>(1)f(k)を求めよ。
直線OPの傾き=(3n^2-6n)/n=3(n-2)より、OP:y=3(n-2)x
x=k(整数)のとき、(k,3k^2-6k)~(k,3(n-2)k)は、格子点だから、
個数は、x=kのときのOPのy座標から、(放物線Cのy座標-1)を引きます。
f(k)=3(n-2)k-{(3k^2-6k)-1}
=3nk-6k-3k^2+6k+1
=3nk-3k^2+1

先に以下の例で考えてみて下さい。グラフを描いて格子点を数えてみて下さい。
f(x)はx=k上にありDに含まれる交子点の個数
n=2のとき、OP:y=0
f(0)=1個 (0,0)
f(1)=4(1,-3)~(1,0)…-3は放物線Cの最小値
f(2)=1(2,0)
n=3のとき、OP:y=3x
f(0)=1(0,0)
f(1)=7(1,-3)~(1,3)…y=3×1=3
f(2)=7(2,0)~(2,6)…y=3×2=6
f(3)=1(3,9)

>(2)Dに含まれる交子点の個数を求めよ。
Σ(k=0~n){3nk-3k^2+1}
=(3n・0-3・0+1)+Σ(k=1~n){3nk-3k^2+1}
=1+3nΣ(k=1~n)k-3Σ(k=1~n)k^2+Σ(k=1~n)1
=3n・(1/2)n(n+1)-3(1/6)n(n+1)(2n+1)+(n+1)
=(1/2)(n+1){3n^2-(2n^2+n)+2}
=(1/2)(n+1)(n^2-n+2)

>(3)f(k)が最大になるようなkを求めよ。
f(k)=-3(k^2-nk+n^2/4)+3n^2/4+1
=-3(k-n/2)^2+3n^2/4+1
kは、整数だから、
nが偶数のとき、k=n/2のとき最大
nが奇数のとき、k=(n-1)/2とk=(n+1)/2のとき最大

(1)の例より、
n=2のとき、k=1で最大f(1)=4
n=3のとき、k=1とk=2で最大f(1)=f(2)=7

グラフを描いて考えてみて下さい。
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この回答へのお礼

例がついていて、
とても分かりやすかったです!

ありがとうございました^^*

お礼日時:2012/08/18 01:00

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