ちくのう症(蓄膿症)は「菌」が原因!?

(n+2)!-n!を11^6で割り切れるnの最小値を求めよ。

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A 回答 (6件)

>どうして速やかにn=35という答えを導き出す野がちょっとわからない。

 33以上の自然数が多いですね

 (n+2)! - n! = (n^2 + 3n + 1)*(n!)

・左辺の第 1 因数 (n^2 + 3n + 1) が 11 の倍数になる n の分布
 n^2 + 3n + 1 = 11 の解は?
 n^2 + 3n - 10 = (n+5)(n-2) のゼロ点、つまり n = 2, -5 。
 各ゼロ点を 11 ずつ増やしていけば、やはり (n^2 + 3n + 1) が 11 の倍数になる。

 問題点は、11 の累乗の検出。簡便な方法が見つけられず、一々チェック。
 何かうまい手、ありませんか?

・左辺の第 2 因数 (n!) に含まれる素因数 11 の個数は、整数部分 (n/11)
 たとえば、n = 65 なら 整数部分 (65/11) = 5 。

-----------------------
66 未満の n 虱つぶし
 55 ≦ n で n^2 + 3n + 1 = 11 の倍数になる最小のもの = 57 / 11^1
 44 ≦ n で n^2 + 3n + 1 = 11 の倍数になる最小のもの = 46 / 11^1
 33 ≦ n で n^2 + 3n + 1 = 11 の倍数になる最小のもの = 35 / 11^3  Bingo !

  
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前稿。



「左辺」は間違え、「右辺」のことでした。
 
  
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掻き込み飯は消化不良の原因、です。


全面修正。

>まず、題意を満たす最小値 n_min は、
> n_min ≦ 66
>しかるに、66 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 12 個 もある。
>それ以下では? (虱つぶし)
>   55 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 10 個 / 11 の倍数であるn は 5 個
>   44 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 8 個 / 11 の倍数であるn は 4 個
>   33 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 6 個 / 11 の倍数であるn は 3 個
> ! 22 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 4 個 / 11 の倍数であるn は 2 個
>   11 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 2 個 / 11 の倍数であるn は 1 個

    ↑ キャンセル

以下、66 未満の n 虱つぶし
 55 以上 の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になる最小のもの = 57 / 11^1
 44 以上 の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になる最小のもの = 46 / 11^1
 33 以上 の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になる最小のもの = 35 / 11^3  Bingo !
 55 以上 の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になる最小のもの = 57 / 11^1
 55 以上 の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になる最小のもの = 57 / 11^1
   
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
えっと、どうして速やかにn=35という答えを導き出す野がちょっとわからない。
33以上の自然数が多いですね

お礼日時:2012/08/19 15:49

じっと考えると n<33 は不適であることが分かりますね>#2.



ところで, 質問の文章がおかしいってのは突っ込んでいいんだろうか....
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

そのあとの計算はちょっとわからない。

お礼日時:2012/08/19 15:50

>(n+2)!-n!を11^6で割り切れるnの最小値を求めよ。



とりあえず、虱つぶしでも…。

 ・11 は素数
 ・(n+2)! - n! = (n^2 + 3n + 1)*(n!)
… らしい。

まず、題意を満たす最小値 n_min は、
 n_min ≦ 66
しかるに、66 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 12 個 もある。

それ以下では? (虱つぶし)
   55 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 10 個 / 11 の倍数であるn は 5 個
   44 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 8 個 / 11 の倍数であるn は 4 個
   33 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 6 個 / 11 の倍数であるn は 3 個
 ! 22 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 4 個 / 11 の倍数であるn は 2 個
   11 以下の n で n^2 + 3n + 1 が 11 の倍数になるのは 2 個 / 11 の倍数であるn は 1 個

ここで、My lunch hour is up.
   
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どの段階迄の解釈が進んでいるのかを追記で説明して下さい。

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Qn^321-1が10の整数倍となるような1000以下の正の整数nの個数

n^321-1が10の整数倍となるような1000以下の正の整数nの個数を求めよ。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

おはようございます。

ぱっと見た感じ、突拍子もない問題に見えますが少し落ち着いて考えると方針が見えてきます。

「10の整数倍」になるということは、一の位が「0」になるということですね。
ということは、n^321の一の位が「1」になるような nを探せばよいことになります。

まず、小さい数で考えてみると、
(1) n= 1は、明らかにこの条件を満たします。

(2) nが偶数の場合は、一の位が「1」になることはありません。

(3) n= 3のときは、
3^1= 3、3^2= 9、3^3= 27、3^4= 81、3^5= 243・・・
となり、一の位だけみれば 3→ 9→ 7→ 1→ 3→(以下繰り返し)となっていることがわかります。
一の位が「1」になるのは、(4の倍数+1)乗したときとなります。
321乗は、まさしく(4の倍数+1)乗ですから、n= 3のときには条件が満たされることがわかります。

以下、同じようなことを n= 7, 9についても調べます。


(1)のことをよく考えると、
11や 21、31・・・などの一の位が「1」となっている数は、すべて条件を満たしていることになります。
あとは、このような数が 1000以下でいくつあるかを勘定することになります。

ここまでくれば、倍数の個数の問題になってきますね。^^

おはようございます。

ぱっと見た感じ、突拍子もない問題に見えますが少し落ち着いて考えると方針が見えてきます。

「10の整数倍」になるということは、一の位が「0」になるということですね。
ということは、n^321の一の位が「1」になるような nを探せばよいことになります。

まず、小さい数で考えてみると、
(1) n= 1は、明らかにこの条件を満たします。

(2) nが偶数の場合は、一の位が「1」になることはありません。

(3) n= 3のときは、
3^1= 3、3^2= 9、3^3= 27、3^4= 81、3^5= 243・・・
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