物理的について（ヨーヨー）

物理の質問です。

ヨーヨーの落下なんですけど、
円柱に糸が巻き付けられています。
糸が天井に吊るされており、
糸の右側に円柱がある状態で、
円柱を落とします。

円柱と糸は滑らないとし、円柱の重さをm
円柱の半径はaとすらる。

運動方程式は
Iω´= aT
mα =mg - T
でいいのでしょうか？
【質問】
ωは右回転なので負？かなと思うのですが、
右回転する角速度をωとおくと、
ωは正となりますよね？

でもモーメントは右回転だから負になるのかわかりません。

(1)Iω´=aT【角速度右回転を正とし、つられてモーメントも右回転正】
(2)I（-ω´）=aT【角速度は負だから－つけて、モーメントはモーメント】
(3)I（-ω´）= -aT【角速度、モーメント共に右回転だから両方負】

どれがただしいのでしょうか？
問題には右回転の矢印の横にωとかかれていました
ので、右回転角速度はω（正）の値とする
という宣言なのでしょうか？
すると、モーメントも正でいいのでしょうか？

分かりやすくおしえてください。
よろしくおねがいします。

No.2 回答者： yokkun831 回答日時： 2012/08/22 14:48

問題が不親切なのかもしれませんが，ここはすなおに（１）を選ばれるとよいと思います。

考え方としては，ω'もTも本来ベクトル量なのですが，その「大きさ」のみを示しているというのが素直な読み取りだと思います。もちろん，その場合に（３）もありですが結果的に（１）と変わりありませんから負号は初めからとってかまいません。

ちなみにωは問題に「角速度をωとせよ」といった形で与えられていますか？　また，張力Tはどうでしょう？

通常これらは方程式において未知数扱いとして自分で決めて式を立てるのが筋です。すると，定義次第でどのような式も立てられますが，その定義に従う限り矛盾は生じません。

たとえば，ωは反時計回りを正にとって，Tは大きさのみと定義すると

Iω' = -aT

となります。T>0ですから，結果として
ω' < 0
となり，角加速度は時計回りという結論になりますね？

この回答へのお礼

早い返信ありがとうございます！
素直に、(1)でいって、
方向は後で確認します。

お礼日時：2012/08/22 15:29

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2012/08/22 14:41

まずは

> 運動方程式は
Iω´= aT
mα =mg - T
でいいのでしょうか？

運動方程式自体はこの二つの式なのですが、これだけでは式としては不足です。
糸が滑らないという拘束条件を加えないと解くことはできません。
糸の巻きだし速さ=重心の落下速さ
の式が必要です。


>【質問】
ωは右回転なので負？かなと思うのですが、
右回転する角速度をωとおくと、
ωは正となりますよね？

直線上を運動する物体について運動方程式を立てる場合、右向きを正にするか左向きを正にするかはその都度定義しますよね。この場合でも右回りを正にするか左回りを正にするか都合のよいほうを選んでよいのです。
ただし、一度決めたら角運動量が正の向き、力のモーメントの正の向きは必ず合わせるようにしましょう。
(角運動量は力のモーメントはベクトルとして扱うことがあります。今回の問題の場合それぞれのベクトルの向きは観察者からみて奥向きになります。つまり観察者にとって前と後ろ、どちらを正として式を立てるか、というだけの話です)

回転の向きが右回りを正としますと、物体を右に回す向きの力のモーメントを正とします。
今回の張力による力のモーメントは右に回す向きになりますので正の向きとなります。この場合は質問者の(1)の式になります。
もちろん、少しだけ面倒になりますが左回りを正にしてもよい。この場合は張力による力のモーメントは負の向きとなりますので(3)の式になります。