いわゆるゼータ関数のζ(2)の値

Σ1/(n^2)= π^2/6

は、どのようにして導くのでしょうか。
たしか sin の無限乗積展開をつかったような記憶が
あるのですが.....。

A 回答 (1件)

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=76142
の回答で shushou さんが書かれているように
(1)  sin x / x = Π(n=1~∞) {1-x^2/(n^2 π^2)}
ですね.
右辺の無限乗積をばらして,x^2 の項を集めると
(2)  Π(n=1~∞) {1-x^2/(n^2 π^2)}
    = 1 - (x^2/π^2){1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ・・・ } + (x^4 以上の項)
になります.右辺第2項の{ }内がちょうどζ(2)です.
左辺をxで展開すれば
(3)  sin x / x = 1 - (1/3!)x^2 + (x^4 以上の項)
ですから,(2)(3)で x^2 の項の係数を比べて
(4)  ζ(2) = π^2/6
が得られます.

他には,Fourier 級数を利用する方法もあります.
(5)  f(x) = x^2
を -1≦x≦1 で Fourier 展開すれば
(6)  x^2 = 1/3 + (4/π^2) Σ(n=1~∞) {(-1)^n / n^2} cos(nπx)
になります.
(6)で x=1 とおくと,右辺のΣのところがちょうどζ(2)になって,
簡単に(4)が得られます.
同様に,x^4 の Fourier 級数展開から
(7)  ζ(4) = π^4/90
がわかります.
なお,(7)は(2)の右辺で x^4 の項を調べても得られます.
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この回答へのお礼

なるほど分かりました。
フーリエ展開でもできるんですね。知らなかったです。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/05/16 14:29

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Aベストアンサー

>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
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『数列{1,cos(nx)}^∞_n=1 についてのfのフーリエ級数は
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>この関数の周期は2L(=π)なので1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxに代入したのです。
ですから、この1/L∫[0..π]cos(kxπ/L)dxがどこから出てきたのかわかりませんものね。
当たり前の公式のように書かれていますが、等式にもなっていないから何を求めているのかもわからないですし。

なので#1の回答では最終的にa_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dxになるような式を予想して解説しました。

>これはfは周期2πの偶関数という意味ですよね。
>今,fは周期はπだと思うのですが…
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lim_n→∞ (1+(1/n))^nのとき値がeに近づいていくということは知っていますが、(1+(1/n))^nを計算機に入力し、nの値をだんだん大きくしていくと(1+(1/n))^nがeより大きくなってしまいます。

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