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高校 数学 円の性質 三角形と比 の問題

ニ十分ほど考えていますが、以下の二題が全く分かりません。入試とか模試の問題だと思います。わかる方御解答の方よろしくお願いします。

□1
図のようなBA=BCの二等辺三角形ABCと点Cを通り点Bで直線ABに接する円Oがある。また、円Oと辺ACとの交点のうちCでない方の点をDとするとき、AD=4,CD=5である。

(1)辺ABの長さを求めよ。

(2)線分BDの長さを求めよ。また、直線BCと△ADBの外接円O'との交点のうち、Bでない方の点をEとするとき、線分BEの長さを求めよ。

(3)(2)のとき、線分AEの長さを求めよ。また、線分ABと線分DEの交点をFとするとき、△BEFの面積を求めよ。

□2
AB=8、AC=6、角A=90°である直角三角形ABCがある。角ACBの二等分線と、辺ABの交点をP,直線CPと△ABCの外接円の交点のうち点Cでない方の点をQとする。

(1)線分AFの長さを求めよ。

(2)線分CPの長さを求めよ。また、線分PQの長さを求めよ。

(3)△ABCの内心をIとするとき、線分PIの長さを求めよ。また辺BCの中点をM,△AQIの重心をGとするとき、線分GMの長さを求めよ。

一気に質問してすみません。数学はかなり厳しい状況なので、よろしくお願いします。

「高校 数学 円の性質 三角形と比 の問題」の質問画像
gooドクター

A 回答 (2件)

2です。

(1)は「線分APの長さを求めよ」だとして解きました。
(1)角の2等分線の定理よりAP:BP=AC:BCなので
AP:BP=3:5,よってAP=3/8AB=3
(2)3平方の定理よりCP=√(AP2乗+AC2乗)=√(9+36)=3√5
また、△PBQと△PCAにおいて
対頂角は等しいので∠BPQ=∠CPA,同じ弦に対する円周角は等しいので∠PQB=∠PAC
2組の角が等しいので△PBQ∽△PCA
よってPQ:PA=PB:PCよりPQ:3=5:3√5だから
3√(5)PQ=15,ゆえにPQ=√5
(3)内心と頂点を結ぶ線は角の2等分線になるので、
CI:PI=CB:PB=2:1
よってPI=1/3CP=√5
点Mは直線AGとBCの交点かつ△ABCの外接円の中心だからAM=5,AG:GM=2:1
よってGM=1/3AM=5/3
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この回答へのお礼

お礼が遅れて申し訳ないです。有難う御座いました。大変助かりました。

お礼日時:2012/09/06 20:42

とりあえず1だけ解答しますね(計算ミスがあるかもしれませんが)



(1)方べきの定理より、AD・AC=AB2乗なのでAB=√36=6
(2)ACの中点をGとするとGD=5-(4+5)/2=0.5
BGC=90°なので△BGCについて3平方の定理を適用して、BG=√(BC2乗-GC2乗)=√(36-81/4)=√(63/4)
よって、△BGDについて3平方の定理を適用して、BD=√(1/4+63/4)=4
方べきの定理よりCD・CA=CB・CEだから45=6・(6+BE)でBE=7.5-6=1.5
(3)AD=BDよりABは円O'の直径となる。よって直径に対する円周角は90°だから
∠AEB=90° よって3平方の定理よりAF=√(AB2乗-BE2乗)=√(36-9/4)=√(135/4)=(3/2)*√15
また,△ADFと△EBFについて
共通の弦に対する円周角は等しいので、∠ADF=∠EBF,∠DAF=∠BEFとなり2組の角が等しいので△ADF∽△EBF
AD:EB=AF:BFよりAF:BF=4:1.5=16:5,よってBF=5/21AB
ここで△BEFと△BEAに着目すると、底辺をそれぞれBF,BAととれば、面積を求める際の高さが等しくなるため、
△BEFの面積は△BEAの面積のBF/BA倍、すなわち5/21倍である。
△BEAの面積は1.5*(3/2)*√(15)/2=(4.5/4)√15なので、
△BEFの面積は5/21*(4.5/4)*√15=(45/168)√15=(15/56)√15

2の(1)が線分AFとなっていますが、AQでしょうか?それともAPでしょうか?
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この回答へのお礼

お礼が遅れてすみません。数学の講習の問題で苦労していたところ助かりました、ありがとうございました。またよろしくお願いします。

お礼日時:2012/09/06 20:43

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