e^iθの大きさ

今日読んだ本に

絶対値（e^iθ) = √cosθ^2+sinθ^2 = 1

と書いてありました。
オイラーの公式はe^iθ=cosθ+i sinθですよね

絶対値（e^iθ) =√e^i2θ=cos2θ+ i sin2θ=1

とド・モアブルの定理を使った式でもできているんですか？
上の式も下の式もよくわかりません
どなたか両方詳しく教えて下さい。

No.1 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/09/01 22:57

R*e^(iθ) の絶対値は、R > 0 ならば R そのもの。

e^(iθ) は 1*e^(iθ) ですから、R = 1 が絶対値。

くどくどと書けば、
　|R*e^(iθ)| = |R| * |e^(iθ)|
|e^(iθ)| = √(cosθ^2 + sinθ^2) = 1 だから、
　|R*e^(iθ)| = |R|
R > 0 ならば |R| = R 。

>絶対値（e^iθ) =√e^i2θ=cos2θ+ i sin2θ=1
>とド・モアブルの定理を使った式でもできているんですか？

それは不成立。
くどくどと書くと、
絶対値（e^iθ) = √{e^(iθ)*e^(-iθ)} = √{e^(iθ-iθ)} = √(e^0) = √(1) = 1

　　

No.2 回答者： spck 回答日時： 2012/09/01 23:00

＞　絶対値（e^iθ) = √cosθ^2+sinθ^2 = 1

複素数の絶対値というのは、複素数平面上の原点からの距離ですよね。

複素数e^iθ=cosθ+i sinθ　は　複素数平面上の（cosθ, sinθ）の位置にありますから、
原点（0,0)からの距離は　cosθ^2+sinθ^2　の平方根となります。

言い換えると、原点(0,0)を中心とする半径１の円の上にこの点はあります。

すみませんが、下の式というのはよくわかりません。
（どこか違うような気がします）

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/09/01 23:05

複素数の大きさ(絶対値)の定義は

複素数の大きさ(絶対値)=√(複素数の実数成分^2 + 複素数の虚数成分^2)

オイラーの公式はe^(iθ)=cosθ+i・sinθ

以上から

（e^(iθ))の絶対値 = √(cosθ^2+sinθ^2)=√(1)=1

No.4 ベストアンサー 回答者： uyama33 回答日時： 2012/09/02 14:06

絶対値（e^iθ) =√e^i2θ=cos2θ+ i sin2θ=1

この部分は、実数ｒに対しては、｜ｒ｜＝√（ｒ＾２）となるのですが、
複素数ｃのたいしては、
｜ｃ｜＝√（ｃ*（ｃの共役複素数））
となります。
（e^iθ)の共役複素数は（e^-iθ)ですから、

絶対値（e^iθ) =√（（e^iθ)*（e^-iθ)）＝√（e^0)＝√1＝1
となります。

実数と複素数では絶対値の計算が少し異なります。