方べきの定理

点Оを中心とする円が線分ABと点Pで接し、円Оと線分AOとの交点をQとする。
AP=3, BP=2,AQ=2であるとき円Оの半径と　BOの長さを求めよ。
この問題の解き方を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/09/08 19:46

図の文字は大文字を使ってください。

円Оの半径をrとする。

方べきの定理より
　AP^2=AQ*(AQ+2r)
AP=3, AQ=2 を代入
　9=2(2+2r)
　5=4r ∴r=5/4 ←　円Оの半径

方べきの定理より
　BP^2=(BO-r)(BO+r)=BO^2-r^2

BP=2, r=5/4 を代入
　4=BO^2-(5/4)^2
　BO^2=4+(5/4)^2=(64+25)/4^2=89/4^2
　∴BO=(√89)/4　← BOの長さ

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2012/09/09 15:48

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/09/09 04:46

#2です。

A#2の図を描いて添付します。
線分AOの延長と円Oの交点でQでない方の交点をQ',
線分BOのと円Oとの交点をR,線分BOの延長と円Oの交点をR'と
する。
このとき線分QOQ',線分ROR'は円Oの直径(=2r)となります。
直線APBは円Cの接線、Pはその接点となります(OP⊥APB)。

A#2の回答とあわせてご覧ください。
なお、方べきの定理とその証明が以下に載っていますので参考にしてください。
方べきの定理は３つの場合があり、質問の問題で使う定理は参考URLの図３の場合です。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/方べきの定理

No.1 回答者： hashioogi 回答日時： 2012/09/08 18:27

Pが接点ということは⊿APOと⊿BPOは直角三角形になる。

従って三平方の定理を2回使えば求められるはず。