xy平面上に点A(1,2)、B(2,1)がある・・

xy平面上に点A(1,2)、B(2,1)がある。点Pがx軸上を動くときベクトル→PA+3→PBの大きさが最少になる点Pの座標は□である。

分かりません。。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： suko22 回答日時： 2012/09/17 17:47

点Ｐ(x,0)と置きます。

ＰＡ↑＝ＯＡ↑-ＯＰ↑＝(1,2)-(x,0)=(1-x,2)

ＰＢ↑＝ＯＢ↑-ＯＰ↑＝(2,1)-(x,0)=(2-x,1)

ＰＡ↑+3ＰＢ↑＝(1-x,2)+3(2-x,1)=(1-x,2)+(6-3x,3)=(7-4x,5)

|ＰＡ↑+3ＰＢ↑|＾2＝(7-4x)^2+5^2=49-56x+16x^2+25=16x^2-56x+74
=16(x^2-7/2x)+74=16(x-7/4)^2-49+74
=16(x-7/4)^2+15


よって、x=7/4のとき|ＰＡ↑+3ＰＢ↑|は最小値√15をとる。

ゆえに、点Ｐ(7/4,0)・・・答え

計算は自分で確認してください。

No.2 回答者： NNori 回答日時： 2012/09/17 17:41

問題がよくわかんないんだけど、

ベクトルPA　＋ ３×ベクトルPB が最小になる点Pを求めればよいのでしょうか？

点P の座標を （ｘ，０）として、求めるベクトルをｘを用いて表して、その長さの２乗を表す式を考え、その値が最小になるｘの値を求めましょう。

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2012/09/17 17:40

点Ｐはｘ軸上にあるのでその座標は（ｘ、０）とおくことができ、ベクトルＰＡおよびＰＢはそれぞれ

（１－ｘ、２）、（２－ｘ、１）と表わすことが出来るので、→PA+3→PBは
（１－ｘ＋３（２－ｘ）、５）＝（７－４ｘ、５）
と表わすことが出来ます。このベクトルの大きさの二乗は
（７－４ｘ）＾２＋２５
なので、これを展開して最小値を与えるｘを求めて下さい。

この回答への補足

ベクトルPA,PBはどのようにして求めるのですか？
すみません。

補足日時：2012/09/17 18:48