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|x-1|+|x-2|=x

この問題の解き方を教えてください。

A 回答 (4件)

この種の絶対値方程式はグラフ的に解けば交点が簡単に求まり、そのx座標から解が求まります。



添付図のように
 y=|x-1| ←水色のグラフ
 y=|x-2| ←紫色のグラフ
のV字型グラフを足し合わせると
 y=|x-1|+|x-2| ...(★) ←黒色のグラフ
が得られます。このグラフは問題の絶対値方程式の左辺のグラフとなります。
また、
 y=x ...(▲) ←青線のグラフ
このグラフは絶対値方程式の右辺のグラフとなります。
(★)と(▲)のグラフの交点はグラフからA(1,1)とB(3,3)の2つです。
従って、交点A,Bのx座標から、与絶対値方程式の解は
 x=1,3
と求まります。
「|x-1|+|x-2|=x の解き方」の回答画像3
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
解き方の理解が出来、とてもすっきりしました。

丁寧に解説していただき、本当にありがとうございます!
違う問題で復習します。グラフなしで解くコツがあれば教えてほしいです。

お礼日時:2012/09/18 09:36

まずは教科書の絶対値を含む方程式のところを良く読み返してみてください。





絶対値で囲まれた部分が、正になる条件、負になる条件で分けて、絶対値の中の符号を反転させます。

例えば、簡単な例、 |x|=1   では、

0 ≦ x の時、   x = 1
x < 0 の時、   -x = 1 即ち、 x = -1 となります。

今回の問題では、絶対値で囲まれた式が二つあるので、

(1)x-1 が 正になる時、 (即ち 1≦x)
(2)x-2 が 正になる時、 (即ち 2≦x)

と、領域としては、 

x < 1   … (1)も(2)も負になる
1≦x<2  … (1)は正だが、(2)が負になる
2≦x    … (1)も(2)も正になる

の3つに分けて、式を三つ作ってください。(例題にならって、それぞれの条件で絶対値内の正負を反転させるだけです。)
簡単な一次方程式が3つ出来るので、それを解けば良いのですが、予め x の領域を定めているので、出てきた解がその領域内にあるかどうかを判定してください。

ご参考に。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
例えと、この問題に沿った解説と、答えの出し方を分けて説明していただき、とても分かりやすかったです。
違う問題をやるときに、理解が定着するように何度も参考にします!

お礼日時:2012/09/18 11:06

|x-1|と|x-2|のそれぞれが、



両方とも負の数
両方とも正の数か0
前者だけ正の数か0
後者だけ正の数か0
両方とも正の数か0

になる場合はいつか、先ずは考えてみ(お礼で書いてきたら、続き教えてあげる(^^)/♪)
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この回答へのお礼

両方とも負の数 x≦0
両方とも正の数か0 x≧2
前者だけ正の数か0 1≦x<2
後者だけ正の数か0 ?(分かりません)

よろしくお願いします!


 

お礼日時:2012/09/18 08:22

解き方:


x,1,2 の大小関係で場合分けして、
それぞれの場合に一次方程式を解き、
場合分けの条件と併せて、最後にまとめる。
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この回答へのお礼

すみません、式もお願いします。

お礼日時:2012/09/18 01:07

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度々すいません^^;
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2個になるとどうとけば良いのでしょう?

Aベストアンサー

|x+1|と|x-2|を別々に考えます。

|x+1|は、
 x<-1のとき、-(x+1),
 x≧-1のとき、(x+1)


|x-2|は、
 x<2のとき、-(x-2)
 x≧2のとき、(x-2)


したがって、
(1) x<-1のとき
 |x+1|+|x-2|<5は、
 -(x+1)+{-(x-2)}<5
  -x-1-x+2<5
       -2x<4
        x>-2
 ここで、前提がx<-1の場合であることから、-2<x<-1 …(A)


(2)-1≦x≦2のとき
 |x+1|+|x-2|<5は、
 (x+1)+{-(x-2)}<5
     x+1-x+2<5
        3<5
 これは、常に成り立つが、
 前提が-1≦x≦2の場合であることから、-1≦x≦2 …(B)


(3)x>2のとき
 |x+1|+|x-2|<5は、
 (x+1)+(x-2)<5
   x+1+x-2<5
      2x<6
      x<3
 ここで、前提がx>2の場合であることから、2<x<3 …(C)


(A),(B),(C)をまとめると、この不等式の答え、
すなわち、-2<x<3が求められます。

|x+1|と|x-2|を別々に考えます。

|x+1|は、
 x<-1のとき、-(x+1),
 x≧-1のとき、(x+1)


|x-2|は、
 x<2のとき、-(x-2)
 x≧2のとき、(x-2)


したがって、
(1) x<-1のとき
 |x+1|+|x-2|<5は、
 -(x+1)+{-(x-2)}<5
  -x-1-x+2<5
       -2x<4
        x>-2
 ここで、前提がx<-1の場合であることから、-2<x<-1 …(A)


(2)-1≦x≦2のとき
 |x+1|+|x-2|<5は、
 (x+1)+{-(x-2)}<5
     x+1-x+2<5
        3<5
 これは、常に成り...続きを読む

Q【問題】方程式2|x|+|2x+3|=7をとけ。

【問題】方程式2|x|+|2x+3|=7をとけ。

※xの範囲で場合わけをしないで解く方法はどうやるんですか??

どなたか教えてください…

Aベストアンサー

|2x+3|=7-2|x| であるから、これは 7-2|x|≧0 ‥‥(1) 、and、(2x+3)^2=(7-2|x|)^2.
計算すると、12x+28|x|=40.

ここから同じ方法を繰り返しても良いが、これなら場合わけで良いだろう。
x≧0の時、x=1 これは(1)を満たす。
x≦0の時、x=-5/2 これは(1)を満たす。


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