基礎論の入門書にある問題が解けません。解答がついていないので、教えてもらえればありがたいです。
 問題だけを挙げても意味不明になりそうなので、少し前のところから、なるべく丸写ししたいと思います。
 以下、問題です。よろしくお願いします。


<に関する帰納法(正則性の公理と同等)

 (注! 記号が自由にならないので、「yはxの元(要素)である」をy<x、全称量化記号(Aを逆さまにしたやつ)をAと表記します)

 数学において帰納法といえば、普通は自然数に関する帰納法をいう。

 <に関する帰納法というのは、集合にも同じような性質があったほうがよいという要請を公理の形で書いたものである。

 <に関する帰納法とは次のようなものである。

      Ax(Ay<xA(y)→P(x))→AxP(x)

 つまり自然数に関する帰納法はn-1について成り立つならばnでも成り立つとき、すべての自然数でも成り立つということであるが、<に関する帰納法はy<xとなるすべてのyで成り立つならばxでも成り立つとき、すべての集合でも成り立つということを述べている。

問題
 自然数に関する帰納法では0で成り立つことがはじめに必要であるが、<に関する帰納法ではこのようなものがない。なぜか考えよ。

 ヒント:命題論理でp→qのpがF(=偽)ならば、この式はいつでもT(=真)であることを思い出せ(そして、x<φの真偽値がFであることも)。

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A 回答 (2件)

いちおうもうちょっと補足。



「xが集合Aに含まれるならば、(ほにゃらら)である」
というのが集合の元に対する命題です。
で、Aが空集合なら、「xが集合Aに含まれる」は常に偽です。
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この回答へのお礼

 回答、ありがとうございます。まず、ちょっと訂正させてください。

 何と、式が間違っていました。<に関する帰納法は、

   Ax(Ay<xA(y)→P(x))→AxP(x)

ではなく、

   Ax(Ay<xP(y)→P(x))→AxP(x)

です。記号を置き換えるときに間違ってしまいました。

 hogehogeninjaさんに回答していただいたのは、xが空集合のとき、Ay<xP(y)は恒真になるということだと思います。そういうことであれば、そこまでは分かりました。その上でもう少し聞きたいのですが、xが空集合のとき、Ay<xP(y)が恒真になることと、<に関する帰納法に(自然数に関する帰納法の)P(0)に相当するようなものがないこととは、どのように結び付くのでしょうか?

お礼日時:2001/05/18 01:20

ヒントに書いてありますが、空集合では、空集合に含まれる元についての言及はどんなことも真です。



つまり、集合の元に対するどんな述語も、空集合については常に真です。
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Aベストアンサー

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x,yは互いに素なので整数a,bが存在して
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もし整数A,Bについて
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よってa-Aはyで割りきれるからnを整数として
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0<A<yで有るようにnを適当に選びAを一意に決定できる。
そのときのAをzとおく。
すると
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であるから
xz/y=1/y-B
であり、よって
xz/yの小数は1/yである。
zx+By=1かつ0<z<y
を満たすzは一意だからzを上記以外に決定したときはBを適当に選び
k=zx+Byかつ1<k<yとなる。
このとき
xz/y=k/y-B
となり
xz/yの小数はk/yとなりいずれも1/yより大きい。

y=1のときにはzは存在しないので1<zとする。
x,yは互いに素なので整数a,bが存在して
ax+by=1・・・(1)
もし整数A,Bについて
Ax+By=1・・・(2)
ならば(1)-(2)より
(a-A)x+(b-B)y=0
よってa-Aはyで割りきれるからnを整数として
a-A=ny
とかける。nを任意に選んでも
B=nx+b
とすれば(2)を満たす。
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であるから0≦A<yで有るようにnを適当に選びAを一意に決定できる。
ただしA=0とするとBy=1と...
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Q材料力学(数学)の問題です。 0<x<bでy=ax、b<x<2bでy=ab、2b<x<3bでy=-a

材料力学(数学)の問題です。

0<x<bでy=ax、b<x<2bでy=ab、2b<x<3bでy=-ax+3abである関数のグラフを描け。a、bは正の定数とする。
この問題の解き方を教えて下さい。わかりやすく解説してくだされば有難いです。

Aベストアンサー

0<x<bでy=ax
これは単なる比例です。aが正の定数なので、0を通る右上がりの直線ですね。

b<x<2bでy=ab
a,bが定数なので、abも定数です。
x=bの時「y=ax」=「y=ab」であるので、
y=axのx=bにおけるyから横一直線ですね。

2b<x<3bでy=-ax+3ab
これは最初の比例のグラフと傾きが正負逆になっていますね。
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x=3bの時y=-3ab+3ab=0
となる右下がりの直線ですね。

x=0,b,2b,3bは範囲外となります。
グラフを描く時に境界部分で○とするか●とするか間違わないように。

Qx, y∈Rとするとき、条件「x>y⇒x^2>y^2」が成り立つ点(x, y)の集合を図示せよ。

x^2≦y^2 を(x-y)(x+y) ≦0 と変形する。
x>yの場合より、両辺をx-y>0で割ると
x+y≦0
∴y≦-x
x>y であって, しかも y≦-x であるような点の集合は、
x≦0、つまり,y軸の左側(y軸を含む)では、直線 y=x より上側(この直線も含む)
x>0、つまりy軸の右側では直線 y=-x より上側(この直線は含まず)

いつもお世話になります。
上記のように解いたのですが、説明不足でしょうか?
不自然な点、補足した方がよい点をご教授下さい。

Aベストアンサー

まず方針を書くべき。
でないと
>x^2≦y^2 を(x-y)(x+y) ≦0 と変形する。
が意味不明。

'x>y であって, しかも y≦-x であるような点の集合は、'

'x>y かつy≦-x であるような点の集合をxy座標から除くと、'
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塾の先生からも「わからんわぁ」で一蹴されてしまった問題その2です。
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このとき、任意の実数x,yについて、g(x+y)+g(x-y)>=2g(x)が成り立つ事を示せ。

※数式の書き方に迷ってしまい、上記の様に記載しました
 もっと判りやすい書き方があれば、書き方も教えてください。
 よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#3です。
A#3について
>>g(x+y)+g(x-y)>=2g(x)
>も不等号の向きが逆ですから問題の間違いでしょう。
これについては

>> g(x)=∫[x→0] (x-t)f(t)dtとおく。…f(f)はf(t)で置換え済
の積分の範囲の書き方が、常識と逆に書いて見えるなら、
積分の上限と下限を逆にすれば、g(x)の符号が反転しますので
不等式が成立するようにするには
g(x)=∫[0→x] (x-t)f(t)dt
と訂正すればいいでしょう。
(この本来の書き方では、積分の下限が0,積分の上限がxと捕らえるのが常識です。)

Q確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0

宜しくお願い致します。

[Q]The random variables X and Y have a joint probability density function given by f(x,y)=cxy^2 for 0<x<y<2 and 0 elsewhere
a) Find c so that f is indeed a probability density function.
b) Find P(X<1,y>1/2).
c) Find the probability density function of X.

[問]確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)で与えられた同時確率密度関数を持つとする。
(a) fが本当に確率密度関数であるようなcを求めよ。
(b) P(X<1,Y>1/2)を求めよ。
(c) Xの確率密度関数を求めよ。

[(a)の解]fが本当に確率密度関数なら∫_y∫_xf(x,y)dx=1.
∫[0..2]∫[y..0]cxy^2dxdy=∫[0..2]cy^2[x^2/2]^y_0dy
=∫[0..2]cy^2(y^2/2)dy=c/2∫[0..2]y^4dy=c/2[y^5/5]^2_0
=c/2(32/5)=32c/10=1. ∴c=5/16

[(b)の解]P(X<1,Y>1/2)=∫[1/2..2]∫[0..1]5xy^2/16dxdy
=∫[1/2..2]5y^2/16[x^2/2]^1_0dy
=∫[1/2..2]5y^2/16・(1/2)dy
=5/32∫[2..1/2]y^2dy
=5/32[y^3/3]^2_1/2
=5/32[8/3-1/8/3]
=0.41

[(c)の解]f_x(X)=∫_yf(x,y)dy=∫[0..2]5xy^2/16dy
=5x/16[y^3/3]^2_0=5x/16(8/3)=5x/6

で(c)の解が間違いだったのですが正解が分かりません。
正解はどのようになりますでしょうか?

宜しくお願い致します。

[Q]The random variables X and Y have a joint probability density function given by f(x,y)=cxy^2 for 0<x<y<2 and 0 elsewhere
a) Find c so that f is indeed a probability density function.
b) Find P(X<1,y>1/2).
c) Find the probability density function of X.

[問]確率変数XとYはf(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)で与えられた同時確率密度関数を持つとする。
(a) fが本当に確率密度関数であるようなcを求めよ。
(b) P(X<1,Y>1/2)を求めよ。
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Aベストアンサー

うーん、前回の質問といい、なぜ前の2問ができてこれを間違うのでしょう?
発展問題というより、視点を変えただけで難易度も考え方も同じです。
今回は前回よりは勘違い度が低いのできちんと書いておきます。

f(x,y)=cxy^2(0<x<y<2でそれ以外は0)
なのですからyの積分範囲は下限x,上限2ですね。

5x/16∫[x,2]y^2dy=5x/16 * [y^3/3]^2_x=5x/48 * (8-x^3)
(=5x/6-5x^4/48)


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