zを複素数としする。コーシーの積分定理によれば「関数f(z)が領域Dで正則であるとして、領域D内の任意の閉曲線Cの内部が領域Dに含まれる場合、閉曲線Cに沿った関数f(z)の周回積分は0になる。」が成り立つと思います。
そこで次の問題を考えました。(zは複素数変数、aは実数の定数、iは虚数単位とする)
「原点を中心とする半径aの円を閉曲線Cとする。閉曲線Cに沿った、関数f(z)=1/(z-ai)の周回積分Iをを求める。」
閉曲線Cの内部で関数f(z)は正則だけれども、閉曲線Cは関数f(z)が正則でないz=aiの点を含んでいるのでコーシーの積分定理は利用できない。…(1)
そこで、次のように積分を行うことにしました。閉曲線Cを複素数で表して、C:z=a*exp(iθ) (0≦θ≦2π)
dz/dθ=ai*exp(iθ)
よってI =∫f(z)dz =∫{ai*exp(iθ)/(a*exp(iθ)-ai)}dθ (積分範囲は0≦θ≦2π)
ここで、[Ln(a*exp(iθ)-ai)](0≦θ≦2π)=0…(2)
そこで質問です。
(1)は正しく、閉曲線の外周上に被積分関数が正則で無い部分があるなら、コーシーの積分定理は成立しないのでしょうか?
(2)ln(z)は無限多価関数なので、どの複素関数の不定積分でもないと思ったので、Ln(z)を不定積分として用いたのですが、これは大丈夫なのでしょうか?
ご回答よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
そもそも,
∫_{-1}^{1} (1/x) dx
って大丈夫?
質問文の例だと θ=π/2 の近傍ってことかな
ついでにいうと,留数のちょっとした応用で
偏角の原理
∫_C f'(z)/f(z) dz = C内のfのゼロ点の個数
ってのがあるんだけど,これはC上にfのゼロ点が存在しないのが前提になるんだ.
なんでこんな前提があるんだろうね
こんにちは。ご回答ありがとうございます。
確かに、θ=π/2付近では、被積分関数の分母がai-aiに近づきます。
また、そもそも(閉)曲線C上でf(z)が定義されていない点があれば、積分を行えない気がします。
No.2
- 回答日時:
画像まで添付してくださって, ありがとうございます。
ただ, ANo.1 に補足してくださった内容は, 質問文を読んで理解できておりました。
以下, ∫f(z)dz とかいた場合, ∫ の右下に C を補って読んでください。
お尋ねしたかったのは, 曲線 C に関する f(z) の積分 ∫f(z)dz の, そもそもの定義です。
この質問では, f(z) = 1/(z - ai) で, C は 0 を中心とする半径 a の円周ですが, これを当てはめたうえで, ∫f(z)dz をどう定義するのかお聞きしたいのです。
この回答への補足
再度ご回答ありがとうございます。
申し上げにくいのですが、「∫f(z)dzの定義」と言われると分かりません。
計算方法としては、I =∫{ai*exp(iθ)/(a*exp(iθ)-ai)}dθ、となるとは思うのですが、普段はこのようなものとして解いていました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 複素関数について 点aが特異点である関数を考えるとき、留数が0になる場合は、a点を含む閉曲線での積分 1 2023/02/17 12:39
- 数学 複素関数と実関数のテーラー展開の違いについて 1 2022/08/09 06:18
- 数学 複素積分 留数について質問です。 f(z)=1/((z-1)z(z+2)) に対して、閉曲線|z-1 4 2023/05/26 11:35
- 数学 f(z)=1/(z^2-1)の時、 i) 0<r<2 C={z||z-1|=r} の時は a(n)= 7 2022/09/01 10:08
- 数学 絵は 1 2022/10/25 15:56
- 数学 次の積分を計算しなさい.積分記号下の |z − a| = r は,a を中心とする半径 r の円に正 2 2022/07/12 14:04
- 数学 次の積分を計算しなさい.積分記号下の |z − a| = r は,a を中心とする半径 r の円に正 1 2022/07/12 14:02
- 数学 積分の問題について 1 2022/07/07 12:24
- 数学 積分の問題について 2 2022/07/09 14:33
- 数学 微分幾何の問題です。1問でもわかる方教えて頂きたいです。 問1 第1基本量、第2基本量が E=G=1 2 2023/02/04 13:48
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
e^(x^2)の積分に関して
-
積分の数式を声に出して読むと...
-
e^(-x^2)の積分
-
0の積分
-
積分の問題なのですが、途中か...
-
積分の問題でどの部分を置換す...
-
(x^3/√(x^2+1))の不定積分
-
置換積分と部分積分の使い分け...
-
積分の問題ですが、どこで間違...
-
高校の数学で積分できない関数
-
数学IIの積分の面積の公式につ...
-
e^(ax)の微分と積分
-
exp(ikx)の積分
-
積分においてxはtに無関係だか...
-
インテグラル∫とdxについて
-
積分計算のdtとdxの違いがわか...
-
積分の問題
-
積分のパソコン上のの表し方...
-
【数学】積分の音符みたいなマ...
-
楕円の円周をはかりたいのです...
おすすめ情報