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問。次の計算をせよ。

3乗根√(√125) × 3乗根√(-25) ÷ 6乗根√5



-5


○乗根の中の-が処理出来ません。
計算したら、


{(5^3)^(1/2)}^(1/3) × {(-1)(5^2)}^(1/3) ÷ 5^(1/6)
=5^(1/2) × (-5)^(2/3) ÷ 5^(1/6)
=5^(1/3) × (-5)^(2/3)


ここで計算が止まっています。
計算の途中でしたように、(-5)^(2/3)=(-1)^(2/3)(5)^(2/3)としたら
(-1)^(2/3)の(2/3)は偶数なので1となり、答えは5になるのではないのでしょうか?

よく分からずにいます。
お手数ですが、ご意見。ご回答お願いします。

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A 回答 (9件)

「三乗根」の定義を確認せずに


式計算だけが一人歩きするから、
混乱するのです。
一言に「三乗根」と言っても、
そう呼ばれる関数には、いくつかの
種類があります。
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#4です。



{(-1)(5^2)}^(1/3)=(-1)^(1/3)*5^(2/3)となります。

(-1)^(1/3)=-1

この部分。ちょっと考えてみたんですけど、
3乗根√(-25)って(-25)^1/3って書きましたけど、これって3乗根の中が負の数の時には普通にはこのように書かないですよね?(教科書確認してみてください)

定義域を複素数の範囲まで拡張すれば3乗根の中が負数でもa^(1/n) = n√a(aのn乗根)は定義できますけど、高校の教科書では確かa>0で上式が定義されていたと思います。

そうすると上記のような指数法則を使ってもいいのか?なんかよくわからなくなってきました。

3乗根√-25は虚数解まで含めると、3個答えでます。

定義域を実数の範囲に決めるなら、3乗根√(-25)=-1*(5^2)^(1/3)=-5^(2/3)となるのでしょうけど、上記の私の回答のように、{(-1)(5^2)}^(1/3)=(-1)^(1/3)*5^(2/3)のように指数法則を使っていいのかが??です。

すみません。ちょっと混乱してきました。#4の回答を一旦撤回します。
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三乗根って、よく知られているものだけでも三種類あるんです。


[1] 実三乗根関数:定義域は非負実数のみ。実数値をとる。
[2] 複素三乗根関数:定義域は複素数全体。三つの値を持つ多価関数。
[3] 実三乗根関数のバリエーション:定義域は実数全体。実数値をとる。

[1] の立場では、
((-5)^2)^(1/3) = 5^(2/3) だが ((-5)^(1/3))^2 は定義されないので、
(-5)^(2/3) と書いてどちらのつもりなんだか、注釈が必要です。
注釈なしでは、式が意味を持ちません。

[2] の立場では、
注釈不要で、(-5)^(2/3) は -(5^(2/3)), -(5^(2/3))ω, -(5^(2/3))ω^2
ただし ω = e^((2/3)πi) という三つの値を持ちます。
多価関数なので、値はひとつに決まりません。

[3] の立場では、
(-5)^(2/3) = -(5-(2/3) です。
一般に x < 0 のとき x^(1/3) = -|x|^(1/3) となります。
この x^(1/3) は、x = 0 では微分不可能だけれど、全実数で連続な、
三乗の逆関数になっていて、奇妙な関数だけれど、便利に使える場面もあります。

そもそも、どの「三乗根」の話をしているのか、
式を書く前提としてハッキリさせておく必要があります。
それは、もとの式を書いた人の責任です。
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>(-1)^(2/3)の(2/3)は偶数なので1となり、答えは5になるのではないのでしょうか?



根本的な部分で間違っているので、そこだけ指摘。

元が「3乗根√(-25)」なのだから「3回同じ数を掛けたら-25になるもの」です。

(-a)×(-a)×(-a)=-(a^3)

ってのは判りますね?

(-a)×(-a)×(-a)=-1×-1×-1×a×a×a=(-1^3)×(a^3)=-1×(a^3)=-(a^3)

ですからね。同様に

(-a)^(1/3)×(-a)^(1/3)×(-a)^(1/3)=-(a^(3/3)=-a

ってのも判りますね?でしたら

(-25)^(1/3)×(-25)^(1/3)×(-25)^(1/3)=-(25^(3/3))=-25

ですよね?

(-25)^(1/3)×(-25)^(1/3)×(-25)^(1/3)=-(25^(3/3))=-25

の場合の「(-25)^(1/3)」を「(-5)^(2/3)」と書き換えてはいけません。

「(-25)^(1/3)」は「(-(5^(2/3))」であって「(-5)^(2/3)」とは違います。

「(-(5^(2/3))」は「3乗して平方根を取ったら5になる物に-1を掛けた物」です。

値は、だいたい-2.92401773821287くらいです。

「(-5)^(2/3)は」は「3乗して平方根を取ったら-5になる物」です。

「平方根を取ったら-5になる物」つまり「2乗すると-5になる物」は虚数です。実数ではなくなってしまいます。

符号を外に出すタイミングを間違うと、正しい解は求まらないので注意しましょう。
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計算に間違いがあります.



{(5^3)^(1/2)}^(1/3)×{(-1)(5^2)}^(1/3)÷5^(1/6)
=5^(1/2)×(-5)^(2/3)÷5^(1/6)   ← ← 間違い!
=5^(1/3)×(-5)^(2/3)


以下のように計算します.

{(5^3)^(1/2)}^(1/3) × {(-1)(5^2)}^(1/3) ÷ 5^(1/6)
=(5^3)^(1/6)}×(-1)^(1/3)×(5)^(2/3)÷5^(1/6)
=(5^2)^(1/6)}×(-1)×(5)^(2/3)
=(5^2)^(1/6)}×(-1)×(5^2)^(2/6)
=(5^2)^(3/6)}×(-1)
=(5^2)^(1/2)}×(-1)
= 5×(-1)= -5

となります.
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>計算の途中でしたように、(-5)^(2/3)=(-1)^(2/3)(5)^(2/3)としたら


>(-1)^(2/3)の(2/3)は偶数なので1となり、答えは5になるのではないのでしょうか?

途中計算の誤りがあります。
>{(5^3)^(1/2)}^(1/3) × {(-1)(5^2)}^(1/3) ÷ 5^(1/6)
>=5^(1/2) × (-5)^(2/3) ÷ 5^(1/6)

第二項目
{(-1)(5^2)}^(1/3)=(-1)^(1/3)*5^(2/3)となります。

(-1)^(1/3)=-1

あとは5^に揃うので指数計算するだけです。
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{(5^3)^(1/2)}^(1/3) × {(-1)(5^2)}^(1/3) ÷ 5^(1/6)


=5^(3×(1/2)×(1/3)) × (-1)(5^(2×(1/3)) ÷ 5^(1/6)
=-(5^(3×(1/2)×(1/3)) × (-1)(5^(2×(1/3)) ÷ 5^(1/6))
=-(5^(1/2) × 5^(2/3) ÷ 5^(1/6))
=-(5^(1/2)+(2/3)-(1/6))
=-(5^(3/6)+(4/6)-(1/6))
=-(5^((3+4-1)/6))
=-(5^(6/6))
=-(5^1)
=-(5)
=-5
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=5^(1/3) × (-5)^(2/3)



=5^(1/3)×5^(2/3)×-1
=5^(1/3+2/3)×-1
=5×-1
=-5
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3乗根√(-25)


=3乗根√((-1)・(25))
=3乗根√(-1)x3乗根√(25)
=-3乗根√(25)
です。
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Q負数の累乗は???

たとえば、-2の2乗は+4ですが、

-2の1.5乗はどうなりますか?

(-2)^1.5=(-2)^(3/2)=(-2)^3/(-2)^2=(-8)/4=-2でよいのでしょうか?

また、(-2)^(√3)なんかはどうすればよいのでしょうか?

Aベストアンサー

(負数を含めた)複素数の複素数乗の一般的な定義は、#4で書いたものです。

具体的に書けば、
(-2)^(3/2)=±2√2i (プラスマイナスの2個とも)
です。

(-2)^√3
は、絶対値が 2^√3 で、偏角が √3π(2n+1) の(nは任意の整数)、加算無限個の複素数全てです。

Q数学のもんだいで指数の計算なんですが、ルートの中にマイナスがあるやつは

数学のもんだいで指数の計算なんですが、ルートの中にマイナスがあるやつは、そのままふつにルートからだして-ルートってして良いんでしたっけ?
だしていいとしたら、どうして答えはかわらないのですか、ひさしぶりにトいたら完全にわすれてましたってたので、どうか教えてください

Aベストアンサー

オイラーの公式(参考URL参照)は高校数学で習いましたね。
高校の教科書を見れば「-1」は「e^(iπ)」に等しいことはわかりますね。
そして単位円を描けば周期2πの多価関数であることも理解できるでしょう。

-1=cosπ=cos(π)+isin(π)=e^(iπ)=e^(iπ+i2nπ)
この3乗根をとれば
(-1)^(1/3)=e^(iπ/3+i2nπ/3)(n=0,±1)
n=0のとき(-1)^(1/3)=e^(iπ/3)=(1+i√3)/2
n=1のとき(-1)^(1/3)=e^(iπ)=-1
n=-1のとき(-1)^(1/3)=e^(-iπ/3)=(1-i√3)/2

(-1)^(1/3)は
実数の範囲では-1になります。
複素数の範囲では-1,(1±i√3)/2の3つの値を持ちます。

たとえば
(-27)^(1/3)={(3^3)^1/3}(-1)^(1/3)=3(-1)^(1/3)
なので

(-27)^(1/3)=-3,3(1±√2)/2(複素数の範囲で考えたとき)

(-27)^(1/3)=-3(実数の範囲で考えたとき)
となります。

実数の範囲で3乗根を考えるときは、「-」の符号を3乗根根号の外に出せます。
複素数の範囲で考えるときは、符号を根号の外にそのまま出せませんね(虚数の3乗根については当てはまらないからです。)

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/オイラーの公式

オイラーの公式(参考URL参照)は高校数学で習いましたね。
高校の教科書を見れば「-1」は「e^(iπ)」に等しいことはわかりますね。
そして単位円を描けば周期2πの多価関数であることも理解できるでしょう。

-1=cosπ=cos(π)+isin(π)=e^(iπ)=e^(iπ+i2nπ)
この3乗根をとれば
(-1)^(1/3)=e^(iπ/3+i2nπ/3)(n=0,±1)
n=0のとき(-1)^(1/3)=e^(iπ/3)=(1+i√3)/2
n=1のとき(-1)^(1/3)=e^(iπ)=-1
n=-1のとき(-1)^(1/3)=e^(-iπ/3)=(1-i√3)/2

(-1)^(1/3)は
実数の範囲では-1になります。
複素数の範囲では-1,(1±i√3)/2の3つの...続きを読む

Q分子結晶と共有結合の結晶の違いは?

分子結晶と共有結合の結晶の違いはなんでしょうか?
参考書を見たところ、共有結合の結晶は原子で出来ている
と書いてあったのですが、二酸化ケイ素も共有結合の
結晶ではないのですか?

Aベストアンサー

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素SiO2の場合も
Si原子とO原子が共有結合し、この結合が立体的に繰り返されて
共有結合の物質というものをつくっているのです。
参考書の表現が少しまずかったのですね。
tomasinoさんの言うとおり、二酸化ケイ素も共有結合の結晶の1つです。

下に共有結合の結晶として有名なものを挙げておきます。

●ダイヤモンドC
C原子の4個の価電子が次々に4個の他のC原子と共有結合して
正四面体状に次々と結合した立体構造を持つのです。
●黒鉛C
C原子の4個の価電子のうち3個が次々に他のC原子と共有結合して
正六角形の網目状平面構造をつくり、それが重なり合っています。
共有結合に使われていない残りの価電子は結晶内を動くことが可能なため、
黒鉛は電気伝導性があります。
(多分この2つは教科書にも載っているでしょう。)
●ケイ素Si
●炭化ケイ素SiC
●二酸化ケイ素SiO2

私の先生曰く、これだけ覚えていればいいそうです。
共有結合の結晶は特徴と例を覚えておけば大丈夫ですよ。
頑張って下さいね♪

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素Si...続きを読む

Q水素結合とはどういうものですか?

現在、化学を勉強している者です。水素結合についての説明が理解できません。わかりやすく教えていただけないでしょうか?また、水素結合に特徴があったらそれもよろしくお願いします。

Aベストアンサー

要は、「電気陰性度の大きい原子に結合した水素と、電気陰性度の大きい原子の間の静電的な引力」です。
電気陰性度の大きい原子というのは、事実上、F,O,Nと考えて良いでしょう。
電気陰性度の大きい原子と結合した水素上には正電荷(δ+)が生じます。また、電気陰性度の大きい原子上には負電荷(δー)が存在します。

水素が他の原子と違うのは、その価電子が1個しかないことです。つまり、他のイオンとは異なり、H+というのは原子核(通常は陽子)のみになります。他のイオンの場合には、内側にも電子格殻が存在しますので、原子格がむき出しになることはありません。
ご存じと思いますが、原子核というのは原子のサイズに比べてはるかに小さいために、H+というのは他のイオンとは比べ物にならないほど小さいといえます。もちろん、正電荷を持つ水素というのは水素イオンとは異なりますので、原子殻がむき出しになっているわけではありませんが、電子が電気陰性度の大きい原子に引き寄せられているために、むき出しに近い状態になり、非常に小さい空間に正電荷が密集することになります。
そこに、他の電気陰性度の大きい原子のδーが接近すれば、静電的な引力が生じるということです。
そのときの、水素は通常の水素原子に比べても小さいために、水素結合の結合角は180度に近くなります。つまり、2個の球(電気陰性度の大きい原子)が非常に小さな球(水素原子)を介してつながれば、直線状にならざるを得ないということです。

要は、「電気陰性度の大きい原子に結合した水素と、電気陰性度の大きい原子の間の静電的な引力」です。
電気陰性度の大きい原子というのは、事実上、F,O,Nと考えて良いでしょう。
電気陰性度の大きい原子と結合した水素上には正電荷(δ+)が生じます。また、電気陰性度の大きい原子上には負電荷(δー)が存在します。

水素が他の原子と違うのは、その価電子が1個しかないことです。つまり、他のイオンとは異なり、H+というのは原子核(通常は陽子)のみになります。他のイオンの場合には、内側にも電子格殻...続きを読む

Q河合塾と駿台の違い、互いのメリットデメリットについて

はじめまして、私は現在高校三年生(今春卒業予定)のものです。
今年は前期で失敗したら浪人する予定す。
現在私の手元には駿台予備校仙台校と河合塾仙台校から
入学の認定が届いています。ですが、正直なところ、
両校のデメリットメリットを調べて比べてみても決めかねています。
皆さんでしたらどちらがいいと思いますか?もしよければ教えてください

ちなみに両校のメリット、デメリットは下記のようでした。
・駿台
○座席指定制
○実績がいい
(ただし実績は個人の問題だと思うのであまり加味しないことにしました……)
○駿台は理系に秀でている(?)
(昔の話だ、という人も多数いて、判断しかねます)
×クラスの人数が多く机が狭い
(クラスの人数はわかりませんが、机が狭いのは試験の時に窮屈だと痛感しました)

・河合塾
○駿台と比較すると少人数、それから個別サポートが充実
○実際に授業を受けたことがあるので、安心
×ただその体験授業のときに、講師の方の説明がよくわかりませんでした。
講師の方の質は実際どれほどのものなのか、
よほど酷い先生に当たったのか、が今一わかりません
×座席指定
×河合なら文系(?)(ただこれも昔の話だという人もいて……)

私は前期は東北大学の工学部志望です。
駿台からは「ハイレベル東北大理系」「スーパー東北大理系集中」
河合塾からは「ハイレベル東北大英語強化/数学強化/理科強化/特別強化」
の受講認定がきています。
(他にも認定は来ていますが関係なさそうなのは省きました)
私立は経済上の理由から行く予定はありません。
また、同じく経済上の理由から浪人も一年のみです。
一年の浪人なので、授業料に関しても両親からは了解を取っています。
安価なほうがいいのですが、、授業料よりも志望校への
適不適を重視したいと思っています。

これを踏まえて、国公立工学部受験には駿台、河合塾
どちらの、どのコースが適しているでしょうか、教えてください
よろしくお願いします

はじめまして、私は現在高校三年生(今春卒業予定)のものです。
今年は前期で失敗したら浪人する予定す。
現在私の手元には駿台予備校仙台校と河合塾仙台校から
入学の認定が届いています。ですが、正直なところ、
両校のデメリットメリットを調べて比べてみても決めかねています。
皆さんでしたらどちらがいいと思いますか?もしよければ教えてください

ちなみに両校のメリット、デメリットは下記のようでした。
・駿台
○座席指定制
○実績がいい
(ただし実績は個人の問題だと思うのであまり加味し...続きを読む

Aベストアンサー

私は東京で通っていたので、仙台のことは分かりませんので、以下記述することは、あくまでも東京での噂によるものです。
確かに、「文系の河合塾」とよく聞きます。
ただ理系は駿台よりも代ゼミと聞きます(いまは、理系も文系も代ゼミになってきているらしいのですが)。
代ゼミは、考えていないようなので、駿台と河合について書きます。
案内にも書いてあると思いますが、年間授業料には1年間の模試代も含まれています。
三大予備校の中で最も平均的に良問と言われいるのが、河合塾の模試です。
さらに、三大予備校の模試の中で、判定が厳しすぎず、甘すぎないのも河合塾と言われています。
駿台は問題も難しく、判定が厳しすぎると言われています(ちなみに、代ゼミは問題が簡単で、判定も甘すぎる)。
模試は出来るだけ多く受けた方が良いので、三大予備校の模試を出来るだけ多く受けるべきだと思いますが、少なくとも、所属している予備校の模試は受けることになるので、模試の観点からでは河合をお薦めます。
授業で使われているテキスト問題ですが、河合は東大の国語の入試問題をドンピシャ(東大対策講座の国語で問題内容も引用文章も)で当てた実績もあり、また、大学入試の問題を請け負っている数が、最も多いらしいので、河合のテキストで使われている問題は、入試対策としては良い参考書になると思います(テキストにはオリジナルの問題もあるので)。
ただ、駿台は難関大学を目指している人たちが多いので、難関大学である東北大学を受けるつもりなら、そういった意味では、駿台は良い環境の予備校だと思います。
模試も難関大学を受ける人の多くが受けているため、比較的難しく作っていると言うことらしいです。
説明のへたくそな先生は、河合にも駿台にもいます。
説明が分からない場合は、他の先生に聞くという手もあります。
私は、授業では解答を得るためだけに行き、実際の質問はお気に入りの先生に夜遅くまで聞きに行った経験が何度もあります。
ただし、その場合は、失礼にないように担当の先生が不在の時に、聞きに行くようにした方が良いですよ。
まだ、1ヶ月あるので、しっかりと考えて予備校選びはしてください。
ただ、大学に受かるか受からないかはどこの予備校に行ったかではなく、1年間どのくらい勉強したかです。

私は東京で通っていたので、仙台のことは分かりませんので、以下記述することは、あくまでも東京での噂によるものです。
確かに、「文系の河合塾」とよく聞きます。
ただ理系は駿台よりも代ゼミと聞きます(いまは、理系も文系も代ゼミになってきているらしいのですが)。
代ゼミは、考えていないようなので、駿台と河合について書きます。
案内にも書いてあると思いますが、年間授業料には1年間の模試代も含まれています。
三大予備校の中で最も平均的に良問と言われいるのが、河合塾の模試です。
さらに、...続きを読む

Q3乗根

今、資格をとるのに勉強しています。
3乗根などがでて、計算ができなく、困っています。学習するには、どうしたらよいでしょうか?
すいません、教えて下さい。

Aベストアンサー

一般に3乗根を計算させる問題であれば,簡単な数値の3乗根か,そうでなければ概数の計算ができればOKです。
1^3=1
2^3=8
3^3=27
4^3=64
5^3=125
6^3=216
7^3=343
8^3=512
9^3=729
10^3=1000
くらいをなるべく速く計算できるようにして(覚える),
三乗根1=1
三乗根8=2
三乗根27=3
三乗根64=4
三乗根125=5
三乗根216=6
三乗根343=7
三乗根512=8
三乗根729=9
三乗根1000=10
と計算します。それ以外の数値の3乗根は,例えば3乗根800=9よりすこし大きい,とすれば十分です。

Q16の4乗根は±2ではない!?

タイトルの通りです。
高2です。先生や友達に聞いても、「説明しにくい・・」と言われて納得いく答えがかえってきません。
√4=±2ですよね!?
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

>実数に限定されての話ですが、どうして+2だけなのでしょう・・
ああ,なるほど。やっと元の質問の意味が分かりました。
これは,「xの平方根」と「√x」との関係に似ています。

以下の話ではすべて,xは正の実数とします。

まず,2乗してxになる数は2つあります。この数を(両方あわせて)xの平方根といい,そのうち正のほうを√xと書きます。もう一つのほうは-√xになります。

同様に,4乗してxになる数は(複素数の範囲で考えると)4つあります。この4つの数をxの4乗根といい,そのうち正の実数のものを[4]√xと書きます。
(本当は小さい4を√記号に乗せるわけですが,画面では表示できないので,ここでは便宜的に[4]としておきます。)
残りの3つは,-[4]√x,([4]√x)i,-([4]√x)iとなります。

つまり,平方根は2つ,4乗根は4つあるけれど,√xと書いたら,そのうち正の実数になるものだけを指し,それ以外の根は√xにマイナス記号やiなどをつけて表す,というわけです。

質問のタイトルに「16の4乗根は±2ではない!?」とありますが,これに対する答えは,
 16の「4乗根」といったら,±2および±2iの4つ,
 [4]√16といったら,+2だけ,
になります。

ちなみに,xを正の実数とした時,3乗根は3つあり,そのうち1つは正の実数,残り2つは複素数になります。このときも同様に,正の実数のものを[3]√xと書きます。(この場合,2乗根や4乗根などと違って,残りの2つの根は,[3]√xにちょこっと記号をつけ足せばすむというわけにはいきません。)
5乗根から先も同様です。
このあたりは,複素平面のところで,xのn乗根とか,ドゥ・モアブルの定理などを学ぶと理解が早いのですけどね(従来は数学Bで出てきていた)。

なお,今年から高校にも新しい指導要領が導入され,教科書の内容も変わっています。数学Bからは複素平面が消えました。
ただし,高校の場合は「学年進行」といって,今の1年生(や来年以降入ってくる1年生)は卒業までずっと新しい指導要領で行きますが,今の2年・3年は前の指導要領時代に入学しているので,卒業まで前の内容の教科書を使います(留年しない限り)ので,もし数学Bの教科書をもっていれば,複素平面も載っているはずです(1学期が始まったばかりですので,まだそこまで進んでいないかもしれませんが)。

>実数に限定されての話ですが、どうして+2だけなのでしょう・・
ああ,なるほど。やっと元の質問の意味が分かりました。
これは,「xの平方根」と「√x」との関係に似ています。

以下の話ではすべて,xは正の実数とします。

まず,2乗してxになる数は2つあります。この数を(両方あわせて)xの平方根といい,そのうち正のほうを√xと書きます。もう一つのほうは-√xになります。

同様に,4乗してxになる数は(複素数の範囲で考えると)4つあります。この4つの数をxの4乗根といい,そのうち正の実数のも...続きを読む

Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む

Q分子式と組成式の違い

えっと…初歩的なことで今更あれなんですが、分子式と組成式の違いがよく分かりません。
お分かりになる方、お教えください。

Aベストアンサー

分子式というのは分子が存在する物質に限って用いられ、その分子に含まれている原子をその数とともに示したものです。
たとえば、水:H2O、アンモニア:NH3といった感じです。


組成式というのは、その物質を構成している原子を最も簡単な整数比で表したものですが、それには2つの可能性があります。
(1)分子が存在する場合でも、種々の理由によって、分子式で表すのが困難な場合には組成式で表します。
たとえば、ダイヤモンドやイオウは高分子ですので、分子式で表そうとすれば構成している原子数を知る必要がありますが、それは個々のダイヤモンド等によって異なっており、正確な原子数を知ることは不可能です。したがって、ダイヤモンド:C、イオウ:Sのように表します。
また、高分子以外でも、種々の理由によって、たとえばベンゼン:C6H6などを、CHという組成式で表すこともあるでしょう。

(2)分子を形成しない物質の場合には、組成式で表します。たとえば、食塩をNaClと表しますが、これはNaClという分子があるのではなく、Na原子(あるいはNa+)とCl原子(あるいはCl-)が1:1で含まれていることを意味します。イオン結合を形成する物質の中には、このように組成式で表されるものが多いと言えるでしょう。

分子式というのは分子が存在する物質に限って用いられ、その分子に含まれている原子をその数とともに示したものです。
たとえば、水:H2O、アンモニア:NH3といった感じです。


組成式というのは、その物質を構成している原子を最も簡単な整数比で表したものですが、それには2つの可能性があります。
(1)分子が存在する場合でも、種々の理由によって、分子式で表すのが困難な場合には組成式で表します。
たとえば、ダイヤモンドやイオウは高分子ですので、分子式で表そうとすれば構成している原子数を知る...続きを読む

Q蒸気圧ってなに?

高校化学IIの気体の分野で『蒸気圧』というのが出てきました。教科書を何度も読んだのですが漠然とした書き方でよく理解できませんでした。蒸気圧とはどんな圧力なのですか?具体的に教えてください。

Aベストアンサー

蒸気圧というのは、主として常温付近で一部が気体になるような物質について用いられる言葉です。

液体の物質の場合に、よく沸点という言葉を使います。
物質の蒸気圧が大気圧と同じになったときに沸騰が起こります。
つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
しかし、沸点以下でも蒸気圧は0ではありません。たとえば、水が蒸発するのは、常温でも水にはある程度の大きさ(おおよそ、0.02気圧程度)の蒸気圧があるためにゆっくりと気化していくためであると説明できます。
また、油が蒸発しにくいのは油の蒸気圧が非常に低いためであると説明できます。

さきほど、常温での水の飽和蒸気圧が0.02気圧であると述べましたが、これはどういう意味かと言えば、大気圧の内の、2%が水蒸気によるものだということになります。
気体の分圧は気体中の分子の数に比例しますので、空気を構成する分子の内の2%が水の分子であることを意味します。残りの98%のうちの約5分の4が窒素で、約5分の1が酸素ということになります。

ただし、上で述べたのは湿度が100%の場合であり、仮に湿度が60%だとすれば、水の蒸気圧は0.2x0.6=0.012気圧ということになります。

蒸気圧というのは、主として常温付近で一部が気体になるような物質について用いられる言葉です。

液体の物質の場合に、よく沸点という言葉を使います。
物質の蒸気圧が大気圧と同じになったときに沸騰が起こります。
つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
しかし、沸点以下でも蒸気圧は0ではありません。たとえば、水が蒸発するのは、常温でも水にはある程度の大きさ(おおよそ、0.02気圧程度)の蒸気圧があるためにゆっくりと気化していくためであると説明できま...続きを読む


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