平行四辺形 3点が一直線上にあることの証明

この問題を解く手順を教えてください。
質問者は高２です。

平行四辺形ABCDにおいて辺CDを2:3に内分する点をE,
対角線BDを5:3に内分する点をFとする。
3点A,F,Eは一直線上にあることを証明せよ。

No.2 ベストアンサー 回答者： KEIS050162 回答日時： 2012/09/28 11:47

ＡからＥを通り、底辺ＣＤの延長線と交わる点をＧとし、”メネラウスの定理の逆”を使えば証明できます。

メネラウスの定理は中学生の数学の教科書に載っていると思います。

ＦＤ／ＢＦ　×　ＥＣ／ＤＥ　×　ＢＧ／ＣＧ　＝　１　が成り立つことを証明し、ＥＦＧが一直線上にあることを証明する。

（一応蛇足ながら、△ＡＢＧと△ＥＣＧは、５：２の相似。）

Ｇは、元々ＡＥを通る直線上の点として定義したのですから、上が証明できれば、ＡＥＦが一直線上であることは証明できます。

ご参考に。

No.3 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/09/29 21:20

直線AEと対角線BDの交点をF'とすると、△ABF'∽△DEF'

そしてAB=CDだからBF'/F'D=AB/DE=CD/DE=5/3
よって点F'はBDを5:3に内分するので、FとF'は一致し、
3点A,F,Eは一直線上にあることになる。

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2012/09/27 23:51

↑ＡＦ＝ｋ↑ＡＥ　（ｋは実数）であることを示すため、↑ＡＥと↑ＡＦを↑ＡＢおよび↑ＡＤで表わします。

以下、ベクトル記号は省略します。

ＡＥ＝ＡＤ＋３ＤＣ／５
　　＝ＡＤ＋３ＡＢ／５
　　

ＡＦ＝ＡＢ＋５ＢＤ／８
　　＝ＡＢ＋５（ＡＤ－ＡＢ）／８
　　＝５ＡＤ／８＋３ＡＢ／８

以上より
ＡＦ＝５ＡＥ／８