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図の平行六面体ABCD-EFGHにおいて、→AB=→a、→AD=→b、→AE=→cとするとき、次の問いに答えよ。ただし、△EBDの重心をKとする。

(1)→AKを→a、→b、→cで表せ。

(2)対角線AGは点Kを通ることを証明せよ。




(1)AK=AB+AD+AE / 3
=A+B+C / 3

↑なぜこうなるのですか?
説明お願いします。


(2)AG=AB+AD+AE
=A+B+C
より AK=1/3AG
よって、3点A,K,Gは一直線上にある
すなわち対角線AGは△EBDの重心Kを通る。

↑なぜAK=1/3AGになるのですか?
説明お願いします。

「図の平行六面体ABCD-EFGHにおいて」の質問画像

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A 回答 (1件)

(1)AK=AB+AD+AE / 3


=A+B+C / 3

↑なぜこうなるのですか?
説明お願いします。

ベクトルを↑で表します。
>辺EBの中点(EBの長さを2等分する点)をD'、辺BDの中点をE'、
辺DEの中点をB'とすると、重心の定義より△EBDの重心Kは、
線分DD'線分EE'線分BB'の交点であり、Kはそれぞれの線分を
2:1の比で分割します。
↑a+↑BD=↑b、よって↑BD=↑b-↑a、
↑BE'=(1/2)*↑BD=(1/2)*(↑b-↑a)
↑AE'=↑a+↑BE'=(1/2)*(↑b+↑a)
↑c+↑EE'=↑AE'、よって↑EE'=↑AE'-↑c=(1/2)*(↑b+↑a)-↑c
定義により↑EK=(2/3)*↑EE'=(1/3)*(↑b+↑a)-(2/3)*↑c
求める↑AK=↑c+↑EK=(1/3)*(↑b+↑a)-(2/3)*↑c+↑c
=(1/3)*(↑a+↑b+↑c)になります。

(2)AG=AB+AD+AE
=A+B+C
より AK=1/3AG
よって、3点A,K,Gは一直線上にある
すなわち対角線AGは△EBDの重心Kを通る。

↑なぜAK=1/3AGになるのですか?
説明お願いします。

>↑AG=↑AB+↑BF+↑FG
ここで↑AB=↑a、↑BF=↑AE=↑c、↑FG=↑AD=↑bなので、
↑AG=↑a+↑b+↑cになります。
(1)で↑AK=(1/3)*(↑a+↑b+↑c)を得たので、
↑AK=(1/3)*(↑a+↑b+↑c)=(1/3)*↑AGになります。
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Q困ってます;

平行六面体OADB-CEGFにおいて,↑OA=↑a,↑OB=↑b,↑OC=↑cとする。辺DGの延長上に
↑DG=↑GHとなる点Hを
とる。直線OHと平面ABCの交点をLとするとき,↑OLを↑a,↑b,↑cを用いて表せ。



以上の問題を解くのに何から
書き出せばいいのか困ってます。

分かる方は教えて
いただけると嬉しいです。

Aベストアンサー

↑OLは平面ABC上にあるので、これで1式求まります。
↑OL=s↑a+t↑b+(1-s-t)↑c (s,tは実数)
次に、Lは直線OH上にあるので、
↑OL=k↑OH(kは実数)
そして、↑OH=↑OD+↑DHであり、↑DH=2↑DGであるので
↑OH=↑OD+2↑DG
ここで↑ODと↑DGはそれぞれ↑a,↑b,↑cを使って表せますよね

これらを一度立式してみると自ずと答えは見えてくると思います。


ベクトル問題は与えられた条件を一個一個確実に式にしていけば、解法が明確になりますよ。

Q位置ベクトル

平行六面体ABCD-EFGHにおいて、4つの対角線AG,BH,CE,DFの中点は一致することを証明せよ。
という問題で、
AG=aベクトル+bベクトル+cベクトル
BH=-aベクトル+bベクトル+cベクトル
CE=-aベクトル+bベクトル-cベクトル
DF=aベクトル+bベクトル-cベクトル
と置いてみたのですが、それぞれの中点が一致しません。
どうすればよいのでしょうか?

Aベストアンサー

>ANはどうやって求めればよいのでしょうか?
求め方はいろいろあると思いますが、例えば、#1で書いた平行四辺形の例では(ベクトルの→は省略します)

AN=AB+BN=AB+(BD/2)

を計算すれば求まりますね。

平行六面体の方もこれと全く同じ事をすれば証明できるはずですよ。

Q空間ベクトルの問題が解けなくて困っています。

空間ベクトルの問題でわからないものがあり困っています。
どなたか、教えていただけませんでしょうか。

平行六面体OADB-CEGFにおいて、辺DGのGを越える延長上にGM=2GMとなるように
点Mをとり、直線OMと平面ABCの交点をNとする。
OA=a、OB=b、OC=cとするとき、ONをa、b、cを用いて表せ。


答えはON=a/5+b/5b+3c/5です。

Aベストアンサー

#1です。
>GM=2GM
これは
GM=2DG
ではないですか?

そうであれば
(OM↑)=(OG↑)+2(DG↑)=(a↑)+(b↑)+(c↑)+2(c↑)
=(a↑)+(b↑)+3(c↑)…(■)
平面ABC上の点Pの位置ベクトル(△ABCを含む平面を表す):
(OP↑)=(OA↑)+p(AB↑)+q(AC↑)
=(a↑)+p((b↑)-(a↑))+q((c↑)-(a↑))
=(1-p-q)(a↑)+p(b↑)+q(c↑)…(●)
ベクトル(■)と平面(●)の交点がNなので
この(ON↑)は
(ON↑)=k(OM↑)=(OP↑)
から求める。
(ON↑)=k(OM↑)=k(a↑)+k(b↑)+3k(c↑)…(▲)
=(OP↑)=(1-p-q)(a↑)+p(b↑)+q(c↑)…(◆)
(▲)と(◆)の係数を比較して
p,q,kの連立方程式を立て
それを解くとp,q,kが求まる。
kを(▲)に代入、または,p,qを(◆)に代入すれば
(ON↑)=(a↑)/5+(b↑)/5+3(c↑)/5
が出てきます。

上の連立方程式は簡単に解けますので解いてみて下さい。
(丸解答はここでは違反なのでこれ位自力でやって下さい)

#1です。
>GM=2GM
これは
GM=2DG
ではないですか?

そうであれば
(OM↑)=(OG↑)+2(DG↑)=(a↑)+(b↑)+(c↑)+2(c↑)
=(a↑)+(b↑)+3(c↑)…(■)
平面ABC上の点Pの位置ベクトル(△ABCを含む平面を表す):
(OP↑)=(OA↑)+p(AB↑)+q(AC↑)
=(a↑)+p((b↑)-(a↑))+q((c↑)-(a↑))
=(1-p-q)(a↑)+p(b↑)+q(c↑)…(●)
ベクトル(■)と平面(●)の交点がNなので
この(ON↑)は
(ON↑)=k(OM↑)=(OP↑)
から求める。
(ON↑)=k(OM↑)=k(a↑)+k(b↑)+3k(c↑)…(▲)
=(OP↑)=(1-p-q)(a↑)+p(b↑)+q(c↑)…(◆)
(▲)と(◆)の係数を比較して
p,q,kの連立方...続きを読む


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