図の平行六面体ABCD-EFGHにおいて・・・

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質問者：yasuikenntarou
質問日時：2012/09/30 16:54
回答数：1件

図の平行六面体ABCD-EFGHにおいて、→AB=→a、→AD=→b、→AE=→cとするとき、次の問いに答えよ。ただし、△EBDの重心をKとする。

(1)→AKを→a、→b、→cで表せ。

(2)対角線AGは点Kを通ることを証明せよ。

（１）AK=AB+AD+AE / 3
=A+B+C / 3

↑なぜこうなるのですか？
説明お願いします。

（２）AG=AB+AD+AE
=A+B+C
より　AK=1/3AG
よって、３点A,K,Gは一直線上にある
すなわち対角線AGは△EBDの重心Kを通る。

↑なぜAK=1/3AGになるのですか？
説明お願いします。

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回答 (1件)

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No.1

回答者： yyssaa
回答日時：2012/10/01 09:16

（１）AK=AB+AD+AE / 3

=A+B+C / 3

↑なぜこうなるのですか？
説明お願いします。

ベクトルを↑で表します。
＞辺EBの中点(EBの長さを2等分する点)をD'、辺BDの中点をE'、
辺DEの中点をB'とすると、重心の定義より△EBDの重心Kは、
線分DD'線分EE'線分BB'の交点であり、Kはそれぞれの線分を
２：１の比で分割します。
↑a+↑BD=↑b、よって↑BD=↑b-↑a、
↑BE'=(1/2)*↑BD=(1/2)*(↑b-↑a)
↑AE'=↑a+↑BE'=(1/2)*(↑b+↑a)
↑c+↑EE'=↑AE'、よって↑EE'=↑AE'-↑c=(1/2)*(↑b+↑a)-↑c
定義により↑EK=(2/3)*↑EE'=(1/3)*(↑b+↑a)-(2/3)*↑c
求める↑AK=↑c+↑EK=(1/3)*(↑b+↑a)-(2/3)*↑c+↑c
=(1/3)*(↑a+↑b+↑c)になります。

（２）AG=AB+AD+AE
=A+B+C
より　AK=1/3AG
よって、３点A,K,Gは一直線上にある
すなわち対角線AGは△EBDの重心Kを通る。

↑なぜAK=1/3AGになるのですか？
説明お願いします。

＞↑AG=↑AB+↑BF+↑FG
ここで↑AB=↑a、↑BF=↑AE=↑c、↑FG=↑AD=↑bなので、
↑AG=↑a+↑b+↑cになります。
（１）で↑AK=(1/3)*(↑a+↑b+↑c)を得たので、
↑AK=(1/3)*(↑a+↑b+↑c)=(1/3)*↑AGになります。

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Q困ってます;

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とる。直線ＯＨと平面ＡＢＣの交点をＬとするとき，↑ＯＬを↑ａ，↑ｂ，↑ｃを用いて表せ。

以上の問題を解くのに何から
書き出せばいいのか困ってます。

分かる方は教えて
いただけると嬉しいです。

Aベストアンサー

↑OLは平面ABC上にあるので、これで１式求まります。
↑OL＝s↑a+t↑b+(1-s-t)↑c (s,tは実数）
次に、Lは直線OH上にあるので、
↑OL＝k↑OH（kは実数）
そして、↑OH=↑OD+↑DHであり、↑DH＝2↑DGであるので
↑OH=↑OD+2↑DG
ここで↑ODと↑DGはそれぞれ↑a,↑b,↑cを使って表せますよね

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Aベストアンサー

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Aベストアンサー

#1です。
>GM=2GM
これは
GM=2DG
ではないですか？

そうであれば
(OM↑)=(OG↑)+2(DG↑)=(a↑)+(b↑)+(c↑)+2(c↑)
=(a↑)+(b↑)+3(c↑)…(■)
平面ABC上の点Pの位置ベクトル(△ABCを含む平面を表す)：
(OP↑)=(OA↑)+p(AB↑)+q(AC↑)
=(a↑)+p((b↑)-(a↑))+q((c↑)-(a↑))
=(1-p-q)(a↑)+p(b↑)+q(c↑)…(●)
ベクトル(■)と平面(●)の交点がNなので
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(ON↑)=k(OM↑)=(OP↑)
から求める。
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