四角形に関する問題なのですが教えて下さい

対角線の長さが3cm,4cmでそのつくる角がθの四角形がある。

(1)θ＝60゜の時この四角形の面積を求めよ。

(2)四角形の面積が最大になるときのθを求めよ。


という問題なのですが、分からないので教えて下さい！

No.2 回答者： suko22 回答日時： 2012/10/01 08:53

対角線によって分けられる４つの三角形の面積の和として考えます。

三角形の面積は公式Ｓ＝1/2ｂｃsinＡで計算します。

四角形の各頂点と対角線の交点との距離をｘ、ｙを使うと、ｘ、3-ｘ、ｙ、4-ｙと表せます。（図でも描いて確認してください）
(1)Ｓ＝1/2ｘｙsin60°+1/2（3-ｘ）（4-ｙ）sin60°+1/2ｘ（4-ｙ）sin120°+1/2ｙ（3-ｘ）sin120°
　　＝1/2*√3/2*12＝3√3

(2)Ｓ＝1/2ｘｙsinθ+1/2（3-ｘ）（4-ｙ）sinθ+1/2ｘ（4-ｙ）sin(180°-θ)+1/2ｙ（3-ｘ）sin(180°-θ)
＝1/2*12*sinθ＝6sinθ

（0＜θ≦90°より0＜sinθ≦1となり、0＜6sinθ≦6）

Ｓが最大になるのはθ＝90°のとき。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/10/01 08:23

(1)

4角形を3cmの対角線を底辺とする２つの三角形に分割し、
それぞれの三角形の高さをh1,h2とおくと
3角形の面積の公式＝(底辺)x(高さ)÷2を使い

四角形の面積S＝3xh1÷2＋3xh2÷2＝3x(h1＋h2)÷2

ここで
　h1+h2=(4cmの対角線)xsinθ
なので
四角形の面積S＝3x(h1＋h2)÷2＝3x4sinθ÷2 ...(※)
　＝6sin60°＝6x√3/2＝3√3 (cm2)

(2)
四角形の面積Sは(※)の式から
　S＝6sinθ
sinθ=1のとき、つまりθ＝90°のとき

S=6(cm2)となり最大になる。

答え　θ=90°