問。
立方体Aに内接する球Kと外接する球Lがある。
(3)KとLの体積の比を求めよ。
答え。
1:3√3
(1)がAとKの表面積の比、(2)はAとKの体積の比です。
この(3)だけ答えを間違えました。
私の回答は、1:2√2です。
解き方としては、Kの半径をx、球K、Lの中心をOとします。
Oから立方体Aの頂点に引いた直線は球Lの半径になり、
またその直線は、立方体Aに内接する球Kの半径から√2xと分かります。
(直線と内接円の半径から、45°、45°、90°の二等辺三角形が出来るため。)
従って球Lの半径は√2xです。
球の体積の公式から、V=(4/3)πr^3なので、
それぞれ、(4/3π)x^3、(8√2/3)πx^3となりました。
なので体積比は、1:2√2となったのです。
この問題集には詳しい解説が載っておらず、回答と解法の一部が載ってるだけです。
その解法の一部ですが、
「立方体Aの1辺の長さをaとすると、球K、球Lの半径はそれぞれ、a/2、√3a/2」
とありました。
どうして回答を間違えたのか、分かりません。
また、解説の球Lの半径が√3a/2となるのも分からないのです。
この二等辺三角形から、1:1:√2が成り立ち、立方体の1辺をaとするなら、
球Lの半径は√2a/2になると思います。
お手数ですが、ご意見。・ご回答お願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
えっと、勘違いされておられます。
Oから立方体Aの頂点に引いた直線は球Lの半径になり、
またその直線は、立方体Aに内接する球Kの半径から√2xと分かります。
(直線と内接円の半径から、45°、45°、90°の二等辺三角形が出来るため。)
従って球Lの半径は√2xです。
ここが間違っています。
あなたの考えでは、立方体の各辺の中点を通る球になりますので外接しません。
立方体に外接する球は立方体の8つの頂点を通る球です。
ここに気づけば、ご自身でも解けますよね。
立方体A任意の2頂点をP、Qとおき、
立方体の辺PQの中点をMとおくとOM=√2x
OP^2=MP^2+OM^2=x^2+2x^2=3x^2
∴OP=√3x
球Lの半径=OP=√3x
となりますので、解答にたどり着くと思います。
球Kの半径を文字に置き換えたほうが計算は楽です。
そこに気付いて計算されたんですから、
数学のセンスはけっこうあるんだと思います。
勘違いされなければ解ける問題です。
頑張ってください。
No.4
- 回答日時:
立方体の辺の長さが1のとき
立方体の対角線の長さは やはり√3 です。
(これは立方体に外接する球の直径になります)
長さ1と長さ√2で直角をなす直角三角形の 斜辺の長さです。
No.3
- 回答日時:
>立方体Aに内接する球Kの半径から√2xと分かります。
ここがおかしいです。
添付の図でいうと、黒い線の部分がAとみて、OAがKの半径です。
OB=BC=CA=xで、∠ACO=∠OBC=直角なので、
OA^2=OC^2+CA^2=(OB^2+BC^2)+CA^2=(x^2+x^2)+x^2=3x^2
からOA=(√3)xになります。
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