A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
a>0と仮定します.
u(t-a)=0(t<a),1(t>a)
であるから,
∫[0→∞]sin(ωt)u(t-a)e^{-st}dt=∫[a→∞]sin(ωt)e^{-st}dt
ここでt-a=τとおくと,t=a+τ,dt=dτで
∫[0→∞]sin(ω(τ+a))e^{-s(τ+a)}dτ=e^{-sa}∫[0→∞]sin(ω(τ+a))e^{-sτ}dτ
(Im*は*の虚数部分と取ります.とりあえずsも正の実数としておきます.)
e^{-sa}∫[0→∞]sin(ω(τ+a))e^{-sτ}dτ=e^{-sa}Im∫[0→∞]e^{iω(τ+a)}e^{-sτ}dτ
=e^{-sa}Ime^{iωa}∫[0→∞]e^{-(s-iω)τ}dτ
=e^{-sa}Ime^{iωa}[e^{-(s-iω)τ}/{-(s-iω)}]_0^∞
=e^{-sa}Ime^{iωa}/(s-iω)
=e^{-sa}Im{cos(ωa)+isin(ωa)}(s+iω)/(s^2+ω^2)
=e^{-sa}{ωcos(ωa)+ssin(ωa)}/(s^2+ω^2)
よって求めるものは
{ωcos(ωa)+s・sin(ωa)}e^{-sa}/(s^2+ω^2)
となります.
No.1
- 回答日時:
f(t) = u(t-a)を単位ステップ関数とすると・・・、
単に場合分けするだけである。
u(t-a) = 0 (t<a)
= 1 (t≧a)
f(t)のラプラス変換をL(f(t))で表す事にすると、
L(sin(ωt)・u(t-a))
= ∫[0,∞)f(t)・e^(-st)dt
= ∫[0,∞){sin(ωt)・u(t-a)・e^(-st)}dt
= ∫[0,a){sin(ωt)・e^(-st)・0}dt+∫[a,∞){sin(ωt)・e^(-st)・1}dt
= ∫[a,∞){sin(ωt)・e^(-st)・1}dt
・・・を計算すれば良い・・・!
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