積分計算（部分積分）

大学から理転し、現在微分方程式を勉強しております。
高校数学３Cの範囲は一通り独習しておりますが、以下の積分計算が分かりません。

∫xe^(x^2)dx = e^(x^2)/2
∫xe^(-(x^2)/2)dx = -e^(-(x^2)/2)

いずれも部分積分法を用いるように思われるのですが、どうしても右辺が導けません。
途中式を詳しく解説していただける方、よろしくお願い申し上げます。

No.3 ベストアンサー 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/10/24 21:27

不定積分の確認

∫f(x)dx=F(x)⇔dF(x)/dx=f(x)

合成関数の微分の確認

f(y),y=g(x)のとき

df(g(x))/dx=(df(y)/dy)(dy/dx)=f'(y)y'

>∫xe^(x^2)dx = e^(x^2)/2

de^{x^2}/dx={d(e^{x^2})/d(x^2)}{d(x^2)/dx}=e^{x^2}2x（合成関数の微分）

d{(1/2)e^{x^2}}/dx=xe^{x^2}

>∫xe^(-(x^2)/2)dx = -e^(-(x^2)/2)

y=-x^2/2とおくと，dy/dx=-x

de^{-x^2/2}/dx=de^y/dx=(de^y/dy)(dy/dx)=e^y(-x)=-xe^{-x^2/2}（合成関数の微分）

d(-e^{-x^2})/dx=xe^{-x^2/2}

この回答へのお礼

分かりやすく教えていただき、どうもありがとうございました。
お蔭様でわかりました。

お礼日時：2012/10/27 13:18

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/10/24 21:18

>どうしても右辺が導けません。

発想が逆向きの導出法なのかも。
右辺を微分したら左辺の ∫ dx の中身になるから。

∫(x^n)e^(x) dx のタイプだと、「部分積分」なのでしょうかね？

　　

この回答へのお礼

たしかに右辺を微分したら左辺のインテグラルの中身になりますね。
ありがとうございました。

お礼日時：2012/10/27 13:17

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/10/24 21:16

1問だけです。

∫xe^(x^2)dx = e^(x^2)/2
x^2=tとおくと
2xdx=dt
よって∫xe^(x^2)dx=(1/2)∫e^tdt=(1/2)e^t+C(積分定数)
=(1/2)e^(x^2)+C

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
お蔭様で２つめも解けました。

お礼日時：2012/10/27 13:18