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方形波を、フーリエ級数で表した際の周期ごとにフィルタリングすると、フーリエ級数のその周期に対応する振幅の値が得られますよね。
しかし、方形波はあくまで方形波の周期以外には周期をもっていないように感じます。方形波をフーリエ級数で表すというのは、正弦波の和で方形波が表現できるというだけで、方形波の特定の周波数の振幅を取り出してもそれがフーリエ級数に関係するとは思えません。

なぜフィルタリングするとその関数のフーリエ級数に対応した振幅が得られるのでしょうか?
また、フィルタリングとはどんな操作ですか?

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A 回答 (6件)

フィルタにも様々な種類のものがありますが、


基本的に周波数により利得が異なるだけです。
trokkyさんの想定されているフィルタは
BPF(Band Pass Filter) (帯域通過フィルタ)でしょうか?

質問の中で最もわからないのは、周波数の振幅とフーリエ級数を
別物と捉えていることです。数学的にも物理的にもこれらは
厳密に同じものなのですが、どうして別と考えておられるのでしょう?

純粋に特定の周波数だけを持つということは信号が純粋な
正弦波であることと同じです。信号が正弦波以外の形になるということは
基本周波数とは別の周波数成分があるというのがフーリエ変換の帰結で、
周波数という概念自体フーリエ変換から来るのもです。切り離して
考えることはできません。
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この回答へのお礼

「純粋に特定の周波数だけを持つということは信号が純粋な正弦波であることと同じ」というのがわかっていませんでした。
見当違いの質問に付き合っていただきすみません。ありがとうございました。

お礼日時:2012/10/28 16:49

>フィルタリングとはどんな操作



Wikipedia ならここに説明があります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3% …

周波数によって利得(+位相)が変わるような増幅器で、望みの周波数成分を分別する
目的で使うこともあります。

周波数領域での説明はここをみればわかると思います。


後、蛇足ですが、1Hz で デューティー比が 50 % の方形波の高調波成分は
3Hz, 5Hz, 7Hz, 9Hz, 11Hz, 13Hz という具合で 10Hz 高調波はありません。
デューティー比が 50 %では無い場合は 10Hz の成分が現れます。
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この回答へのお礼

お礼済みだと勘違いしておりました。すみません。
wikiの記事はフィルタリングで検索して既に読んでいました。
しかし、私では理解できなかったのでこの質問をした次第です。
デューティー比の高調波成分のご指摘もありがとうございます。
フィルタリングの仕組みは後々理解したいと思います。

お礼日時:2012/11/01 19:25

>例えば、1Hzの方形波を10Hzを通すフィルタにかけても理想的には全てフィルタに阻まれる気がする、ということです。

もちろん実際はその1Hzの方形波のフーリエ級数の10Hzに対応した振幅が検出されると思っています。

1Hz 周期で繰り返す方形波なら、整数 Hz の正弦波成分を含んでいます。
(だから、わざわざフーリエ級数の勘定をしているわけです)

10Hz だけを通し、他の整数 Hz の正弦波成分を通さない理想的なフィルタにかければ、その成分だけを得て、レベル (振幅) を知ることができます。

  
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2012/10/28 16:51

曖昧な質問には曖昧な答えしか得られません。



>フィルタリングとはどんな操作ですか?
ご自分で「フーリエ級数で表した際の周期ごとにフィルタリングすると」と書いていますね。
あなたはどんな操作をしているのですか?
あなたがしている操作はフィルタリングでは無いのですか?
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この回答へのお礼

結果がどうなるかはわかっていましたが、「どんな」というのは操作の過程に対してのつもりでした。
質問が見当違いだったみたいですね、すみません。

お礼日時:2012/10/28 16:45

>それはさっき言いました。



ではこの質問は何を答えるのですか?
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この回答へのお礼

なぜフィルタリングするとその関数のフーリエ級数に対応した振幅が得られるのでしょうか?
また、フィルタリングとはどんな操作ですか?
です

例えば、1Hzの方形波を10Hzを通すフィルタにかけても理想的には全てフィルタに阻まれる気がする、ということです。
もちろん実際はその1Hzの方形波のフーリエ級数の10Hzに対応した振幅が検出されると思っています。
どういう工程でフィルタリングされているのかわかったら納得できるかもしれないと思い、それについての質問も付加しました。

お礼日時:2012/10/27 22:54

「感じます」とか「思えません」と感覚だけでおっしゃられても事実は異なります。


基本波と倍音を合成して方形波は作れますし、方形波は基本波と倍音に分解できます。
特定の周波数帯域を取り出すフィルターを通せばその帯域の倍音が取り出されるだけです。
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この回答へのお礼

それはさっき言いました。

お礼日時:2012/10/27 20:47

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