現在、自動制御を勉強しているのですが、その中で複素関数につまずいています.文献もいくつか探しましたが、よくわかりません.詳しい事は知る必要がないので、だいたい複素関数というのがどのようなものかについて教えて下さい.(複素数とは関係があるのかなど)

A 回答 (1件)

複素関数。

懐かしい響きです。
私も学生時代に自動制御の授業をとってました。
(あまり覚えてないけど^^;)

参考になりそうなURLを書いときますね。

参考URL:http://plaza23.mbn.or.jp/~946/compn.htm
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Q複素共役 共役複素数

複素共役 共役複素数

複素共役の性質としてよくわからない性質があったので
質問させて頂きます。

複素数をz、zに対する複素共役をz^-で表します。

(z^-1)=(z^-)/(|z|^2)
これは、複素数の逆元を表していると思います。

この、(z^-1)とは(1/z)と同じことなのですか?

また、(z^-1)=(z^-)/(|z|^2)
となる理由を知りたいのですが、
証明の仕方を教えて頂けないでしょうか?

以上、よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

z=a+bi とし、複素共役を z*=a-bi
z^(-1)=1/z とします。後は計算するだけ

z*/|z|^2 = (a-bi)/(a^2+b^2)
z^(-1)=1/z = 1/(a+bi)=(a-bi)/(a^2+b^2)

Q複素数 複素平面の図形処理

以下の問題の解き方を教えて下さい。
(1)A=3+2i である正三角形ABCの重心Gについて、G=5+4iの時、B,Cの値を求めよ
(2)正三角形ABCについて、A=α、B=β、C=γで表現する時、α^2+β^2+γ^2-αβ-βγ-γα=0を示せ

Aベストアンサー

(1)
B=b1+b2*i,C=c1+c2*i
(b1,b2,c1.c2は実数)
とおけば
G=(A+B+C)/3=(3+b1+c1)/3+i*(2+b2+c2)/3=5+4i
これから
 (3+b1+c1)/3=5,(2+b2+c2)/3=4
整理すると
 b1+c1=12 ...(A-1) , b2+c2=10 ...(A-2)
AB=AC=BCより |B-A|=|C-A|=|C-B|なので
 (b1-3)^2+(b2-2)^2=(c1-3)^2+(c2-2)^2=(c1-b1)^2+(c2-b2)^2
2つの式に書き換えると
 (b1-3)^2+(b2-2)^2=(c1-b1)^2+(c2-b2)^2
 (c1-3)^2+(c2-2)^2=(c1-b1)^2+(c2-b2)^2
整理すると
 13-6b1-4b2=c1^2+c2^2-2b1c1-2b2c2 ...(B)
 13-6c1-4c2=b1^2+b2^2-2b1c1-2b2c2 ...(C)
(B)+(C)に(A-1),(A-2)を代入
 26-6*12-4*10=(b1+c1)^2+(b2+C2)^2-6b1c1-6b2c2
       =12^2+10^2-6(b1c1+b2c2)
整理して
 b1c1+b2c2=55 ...(D)
(B)に代入して
 13-6b1-4b2=c1^2+c2^2-2*55
整理して
 6b1+4b2+c1^2+c2^2=123 ...(E)
(A-1),(A-2),(D),(E)の連立方程式を解くと
(b1,b2,c1,c2)=(6+√3,5-√3,6-√3,5+√3),
  (6-√3,5+√3,6+√3,5-√3)
すなわち
B=6+√3+(5-√3)i,C=6-√3+(5+√3)i
またはB,Cを入れ替えた
B=6-√3+(5+√3)i,C=6+√3+(5-√3)i
となります。

(2)
A=α=3+2iと(1)の結果から
β+γ=12+10i,βγ=(6+5i)^2-3(1-i)^2=11(1+6i)なので
α^2+β^2+γ^2-αβ-βγ-γα
=α^2-α(β+γ)+(β+γ)^2-3βγ
=(3+2i)^2-(3+2i)*(12+10i)+(12+10i)^2-33(1+6i)
= …
=0

(1)
B=b1+b2*i,C=c1+c2*i
(b1,b2,c1.c2は実数)
とおけば
G=(A+B+C)/3=(3+b1+c1)/3+i*(2+b2+c2)/3=5+4i
これから
 (3+b1+c1)/3=5,(2+b2+c2)/3=4
整理すると
 b1+c1=12 ...(A-1) , b2+c2=10 ...(A-2)
AB=AC=BCより |B-A|=|C-A|=|C-B|なので
 (b1-3)^2+(b2-2)^2=(c1-3)^2+(c2-2)^2=(c1-b1)^2+(c2-b2)^2
2つの式に書き換えると
 (b1-3)^2+(b2-2)^2=(c1-b1)^2+(c2-b2)^2
 (c1-3)^2+(c2-2)^2=(c1-b1)^2+(c2-b2)^2
整理すると
 13-6b1-4b2=c1^2+c2^2-2b1c1-2b2c2 ...(B)
 13-6c1-4c2=b1^2+b2^2-2b1c1-2b2c2 ...(...続きを読む

Q複素関数の問題について質問です.教えて下さい.

複素数の定数a,および複素関数f(z),g(z)について
a=3-i√3
f(z)=z^4-64
g(z)=(z^4)/f(z)

(1)aを極座標で表わせ.

(2)次の値を求め,x+iy の形あるいは実数で表わせ.
ア,(i/a)+(a/i)
イ,a^6

(3)方程式f(z)=0を満たすzをすべて求めよ.解はx+iyの形で表わせ.

(4)積分経路Cを|z+3|=1 (正方向) とするとき,∫g(z)dz の値を求めよ.

という問題です.わかる方がいらっしゃいましたら,解説をお書きのうえ
回答していただけると幸いです.よろしくお願いいたします.

Aベストアンサー

(1)aを極座標で表わせ.

a=3-i√3=re^(iθ)

r=√[3^2+(-√3)^2]=√12=2√3
tanθ=-√3/3=-1/√3 ⇒ θ=-π/6

a=2√3e^(-iπ/6)


(2)次の値を求め,x+iy の形あるいは実数で表わせ.
ア,P=(i/a)+(a/i)
a/i=(3-i√3)/i=-√3-3i
i/a=1/(-√3-3i)=-1/(√3+3i)=-(√3-3i)/(√3+3i)(√3-3i))=-(√3-3i)/12
=-√3/12+i/4
P=(i/a)+(a/i)=-√3-3i-√3/12+i/4=-13√3/12-11i/4

イ,a^6=(2√3e^(-iπ/6))^6=2^6*3^3e^(-iπ)=-1728

(3)方程式f(z)=0を満たすzをすべて求めよ.解はx+iyの形で表わせ.

f(z)=z^4-64=0

z=re^(iθ)とおく

r^4e^(4iθ)=64

r=√8=2√2
4θ=2nπ
θ=nπ/2=π/2,π,3π/2,2π
z=2√2,i2√2,-2√2,-i2√2

(4)積分経路Cを|z+3|=1 (正方向) とするとき,∫g(z)dz の値を求めよ.
I=∲Cg(z)dz=∲C[z^4/(z^4-64)]dz
C内にある特異点はx=-2√2であって、1位の極になっている。この点における留数は
Res(-2√2)=lim(z→-2√2){(z+2√2)[z^4/(z^4-64)]}
=lim(z→-2√2){z^4/[(z-2√2)(z+2√2i)(z-2√2i)]}
=(-2√2)^4/[(-2√2-2√2)(-2√2+2√2i)(-2√2-2√2i)]
=-2^6/[(4√2)(2√2)^2(1-i)(1+i)]=-1/√2
コーシーの定理より
I=∲Cg(z)dz=∲C[z^4/(z^4-64)]dz=2πiRes(-2√2)=-√2πi

(1)aを極座標で表わせ.

a=3-i√3=re^(iθ)

r=√[3^2+(-√3)^2]=√12=2√3
tanθ=-√3/3=-1/√3 ⇒ θ=-π/6

a=2√3e^(-iπ/6)


(2)次の値を求め,x+iy の形あるいは実数で表わせ.
ア,P=(i/a)+(a/i)
a/i=(3-i√3)/i=-√3-3i
i/a=1/(-√3-3i)=-1/(√3+3i)=-(√3-3i)/(√3+3i)(√3-3i))=-(√3-3i)/12
=-√3/12+i/4
P=(i/a)+(a/i)=-√3-3i-√3/12+i/4=-13√3/12-11i/4

イ,a^6=(2√3e^(-iπ/6))^6=2^6*3^3e^(-iπ)=-1728

(3)方程式f(z)=0を満たすzをすべて求めよ.解はx+iyの形で表わせ.

f(z)=z^4-64=0

z=re^(iθ...続きを読む

Q複素数の複素数乗の考え方について

z,α,β∈Cのときの考え方について悩んでます。

(i) z^α * z^β = z^(α+β)
(ii) (z^α)^β = (z^β)^α = z^(αβ)

が成立する条件ってどう考えればいいんでしょうか?
zが無限多価関数って事を考えてもよく解からない事になります。

(i)の方は
 z^α = exp(αlogz) = exp{α(log|z| + argz)}
 z^β = exp(βlogz) = exp{β(log|z| + argz)}
 z^(α+β) = exp{(α+β)logz} = exp{(α+β)(log|z| + argz)}
から
 z ≠ 0
な気がするのですが、確証が持てません。

ご教示お願いします。

Aベストアンサー

じっくりいきます.
まず次のように定義しています (ギリシア文字は面倒なので π 以外は全てラテン文字で):
z^a = exp [a (log |z| + i (arg z + 2kπ))], k ∈ Z.
(ii) の式は, ここでは全く出てきません.
この定義から z^a が一般には無限多価関数となることがわかるので, 他のところも無限多価関数を扱えるように拡張します:
log X = { log x | x ∈ X }
X Y = { xy | x ∈ X, y ∈ Y }
exp X = { exp x | x ∈ X }
ようするに「(無限) 多価なので集合として扱う」ってだけですが.
これだけ準備しておいて, 1^i を考えると z^a の定義から
1^i = exp i [log 1 + i (arg 1 + 2kπ)] = exp i (0 + 2kπ i) = exp -2kπ
となります.
ということで, 1^i 1^i は
1^i 1^i = (exp -2kπ) (exp -2lπ) = exp -2π(k + l)
と書けます (k, l ∈ Z). 注意してほしいのは, 2つの 1^i を計算するときに 1 の偏角として異なる値を使ってよいというところ. 一方 1^(i+i) = 1^(2i) は
1^(2i) = exp 2i [log 1 + i (arg 1 + 2kπ)] = exp 2i (0 + 2kπ i) = exp -4kπ
です. で 1^i 1^i と 1^(2i) が (集合として) 等しいかどうかというと, 前者では (k = 0, l = 1 とおくと) exp -2π という値が取れるのに対し後者では取ることができません. 従ってこの 2つは (集合として) 異なるということになります.
あと ±1 と (-1)^k の違いですが, ±1 では +1 と -1 のどちらの値を取ってもよいのに対し (-1)^k では (k の値に応じた) +1 あるいは -1 のいずれかしか取れないというところにあります.

じっくりいきます.
まず次のように定義しています (ギリシア文字は面倒なので π 以外は全てラテン文字で):
z^a = exp [a (log |z| + i (arg z + 2kπ))], k ∈ Z.
(ii) の式は, ここでは全く出てきません.
この定義から z^a が一般には無限多価関数となることがわかるので, 他のところも無限多価関数を扱えるように拡張します:
log X = { log x | x ∈ X }
X Y = { xy | x ∈ X, y ∈ Y }
exp X = { exp x | x ∈ X }
ようするに「(無限) 多価なので集合として扱う」ってだけですが.
これだけ準備しておいて, 1...続きを読む

Q複素数の複素数乗の定義の仕方は?

定義集を作っています。
集合や写像を定義してからN,Z,Q,R,Cの四則演算等や環や体を定義しました。
そして、e:=lim[t→0](1+t)^(1/t)をε-δで定義しました。
この後、累乗の定義をしようとしたのですが
後でいちいち定義の拡張をしなくていいように
複素数の複素数乗(z^w (z,w∈C))を一気に定義してしまおうと思っています。
先ずはz^wの定義は
z^w:=exp(log|z|+iArg(z)) (Arg(z)は0<arg(z)≦2π)
だと思いますが
logとargの定義をしてしまわねばなりません。
argは図を使わずに数式として定義は出来ないのでしょうか?
(図で定義するのなら先ず図とは何かを定義しなければなりませんよね)
そして、logはmap f:R→R;R∋∀x→f(x):=e^xの逆写像として定義されると思います。
然しながらここでe^xと累乗を使ってしまってます(累乗は未定義なのに)。
どうすればlogを累乗を避けて定義できますでしょうか?

Aベストアンサー

一般的な構成法としては、exp() とその逆関数の log() は個別に定義しておいて、

a ^ b = exp(b * log(a))

を使って定義するというのが自然ではないかなと思います。

exp(x) は、 1/(n!)x^n の無限和で定義できますし、log(x) はそれの逆関数としてしまっても良いかもしれません。


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