初めまして。3日間同じ問題に悩み続けて、教えてgooに初めて投稿させていただきます。
線形代数の収束の問題です。本当に困っているので、助けてください。よろしくお願いします。
m×m(m>1)の実行列Aに関する以下の命題が成立する場合は証明、
成立いなければ反例を具体的に述べろというものです。
||X||はX=t(x1,x2,x3,・・・xm)に対して、√(x1^2+x2^2+x3^2+・・・+xmx^2)を表しています。
(3)Aが相異なるm個の実固有値を持つ時、以下で定まるベクトルの列 U0,U1・・・、は任意のm次元実ベクトルbに対して収束する
U0=b
Un+1=AUn/||AUn|| (||AUn|| not equal 0の時)
=0 (||AUn|| = 0の時) (n=0,1,2・・・)
(4)Aの固有多項式がm重根を持ち、それが正の実数の時、以下で定まるベクトルの列 U0,U1・・・、は任意のm次元実ベクトルbに対して収束する
U0=b
Un+1=AUn/||AUn|| (||AUn|| not equal 0の時)
=0 (||AUn||=0の時) (n=0,1,2・・・)
(※この問題の前に2題の証明問題があり、私が解いてみました。
1、Aが相異なるm個の実固有値を持つ時、対応する固有ベクトルは線形独立であるか
⇒線形独立である
2、Aの固有多項式が重根を持つとき、Aは対角化可能ではないかどうか
⇒その重根の重複度がその固有値の固有空間の次数に等しい時のみ、対角化可能である)
おそらく
(3)は反例として以下があるかと考えています。
A=
(-1 0)
( 0 0)
b=
(1)
(0)
このとき,
u_n=
((-1)^n)
(0 )
(4)固有値αが1より小さい時に、ジョルダン標準形が0に収束することが背景にあるのかと考えていますが、全くわかりません。
以下稚拙な文で読みづらいかと思いますが、お力を貸していただけないでしょうか。
回答お待ちしております。
A 回答 (4件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.4
- 回答日時:
適当に変数変換するとA=aE+N(a>0,N^m=0,Eは単位行列)
となるから最初からこの形を考える。
u_nは計算しづらいのでv_n=(A^n)bを考える。
するとv_n/||v_n||=u_nとなる。
以下、乱暴な推論です。
たとえばNの第(i,i+1)成分が全部1とかなら、
v_nの第k成分
=(a^k)(x_k)+n(a^(n-1))(x_(k+1))+…+combination(n,m-k)(a^(n-m+k))(x_m)
のようになって、v_nの第k成分/||v_n||で分母分子を
combination(n,m-k)(a^(n-m+k))で割るとk=1のとき極限が1
になってk>1のとき極限が0という感じで案外綺麗に極限が
計算できそうです。
きっちり証明しようとすると大変そうですが。
No.3
- 回答日時:
(4)について、次の方針で証明するのはどうでしょうか。
でっちあげなので、どこかで間違っているかもしれません。(イ) b の第m要素が 0以外で、かつ、A が1ブロックのジョルダン標準型の場合について、まず証明することとする。なお、「A が1ブロックのジョルダン標準型」とは、A のij 要素a[ij] が次のように表されるということ。
a[ii] = λ (λ > 0、 1≦i≦ m)
a[i j+1] = 1 (1≦i≦ m)
a[ij] = 0 (上以外のとき)
(ロ)0以外のベクトル X に対して X/||X|| を対応させる写像をFとすれば、
Un = F((A^n)b)
である。
(ハ) A^n の ij 要素を a[n;ij] と記すことにすると、
a[n;ij] = C(n, j-i)λ^(n+i-j)
である。ただし、C(n, j-i) は、次のように定まる数値である。
C(n, j-i) = 「n 個からj-i 個選ぶ組み合わせの個数」 (0≦ j-i ≦ n のとき)
C(n, j-i) = 0 (上以外のとき)
(ニ)(A^n)b の各要素は、n の多項式で表わされる。一番次数が大きいのは、第1成分であって、その次数は、m-1 である。
(ホ)(n^(-m+1))(λ^(-n))(A^n)b は、n→∞のとき、0以外のベクトルに収束する。
(へ)一般に、要素がnに依存するベクトルX(n)があったとする。n→∞のとき、もし、X(n)が0以外のベクトルに収束するなら、F(X(n))も一定のベクトルに収束する。
(ト)Un = F((A^n)b) = F((n^(-m+1))(λ^(-n))(A^n)b) だから、(へ)により、Unは、収束する。
(チ)(イ)の条件を満たさないときも、以上の手順を応用して証明できるはず。
No.2
- 回答日時:
(4) だけど, 「固有値αが1より小さい時に、ジョルダン標準形が0に収束する」の意味が分かりません.
てきと~に考えると, ジョルダン標準形に直して成分計算でそれっぽいことになりそう.
No.1
- 回答日時:
(4)
b=
(2)
(0)
A=
(1,0)
(0,1)
このとき
n≧1に対して
U_n=
(1)
(0)
となるからbには収束しない
|A|≠0とする
||b||≠1,&,||b||≠0
となるbに対して
||AU_n||≠0
||U_{n+1}||=||AU_n/||AU_n||||=||AU_n||/||AU_n||=1
だから
lim_{n→∞}||U_n||=1≠||b||
だから
U_nはbに収束しない
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 数学の線形代数についての質問です。 0 1 0 0 0 1 1 0 0 の3×3の行列をAとする時、 1 2023/07/09 01:28
- 数学 固有ベクトルの縦書き 3 2022/12/19 23:48
- 数学 線形代数の対称行列についての問題がわからないです。 2 2023/01/08 14:59
- 数学 連立微分方程式の解き方について 7 2022/12/16 13:39
- 数学 問題文はa+b≠2のとき A= a 1-a 1-b b 固有ベクトルを求める 固有値λ=1,a+b- 3 2023/04/18 23:41
- 物理学 スピン 行列表示 固有状態 測定値 1 2022/08/16 18:39
- 数学 線形代数についての問題がわからないです。 1 2023/01/08 14:53
- 物理学 ベクトルと座標系につきまして 1 2022/04/03 06:23
- 数学 (3)がわかりません。 (1)は固有値λ=±1 固有ベクトルは λ=1のとき (-i,1) λ=-1 2 2023/06/11 14:46
- 数学 3次元実ベクトル空間において, 平面 P:x-y+z+1=0 と直線 L:2(x-1)=-y=-z 3 2022/10/29 14:39
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
数列の極限について
-
確率変数の収束について
-
∞/0って不定形ですか?∞ですか...
-
シグマの問題なのですが。
-
ラプラス変換後のsの意味って何...
-
数3の極限です。 0/1の極限は∞...
-
極限の問題
-
無限級数(√2+1)-(√2-1)+(5√2+7)...
-
数学の問題です
-
極限値lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))...
-
limの問題
-
無限級数 1+2+3+4+… は-1/12!?
-
1/n^2と1/n^3の無限和の問題を...
-
次の条件を満たす数列{an}の...
-
定数aのn乗根の極限(n→∞)...
-
はさみうちの原理を使って lim[...
-
無限級数と無限数列の違いについて
-
無限大の0乗は、1で正しいですか?
-
Σ_[n=1,∞]1/nは発散?
-
無限級数Σ(n=1~∞)(n/n^2+1)の...
おすすめ情報