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∬_D log(x^2+y^2)dxdyの値を2変数の変数変換を使わずに計算せよ。


積分領域D:1≤x^2+y^2≤4

の問題がわかりません。知っている方がいましたら教えてください。

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A 回答 (3件)

極座標だと次のように簡単に出るのですが.dxdy=rdrdθだから



∫_0^{2π}dθ∫_1^2drrlog(r^2)

=4π∫_1^2drrlog(r)

=4π∫_1^2dr(r^2/2)'log(r)

=4π{[(r^2/2)log(r)]_1^2-∫_1^2(r^2/2)(log(r))'dr}

=4π{2log2-∫_1^2(r^2/2)(1/r)dr}

=4π{2log2-∫_1^2(r/2)dr}

=4π{2log2-[r^2/4]_1^2}

=4π{2log2-3/4}

=8πlog2-3π


さて,xy座標のまま積分しましょう.

I=∬_Ddxdylog(x^2+y^2)

とおきます.対称性より

I/4=∬_{E_1}dxdylog(x^2+y^2)+∬_{E_2}dxdylog(x^2+y^2)

ここにE_1∪E_2はDの第1象限の部分で

E_1={(x,y)|0≦x≦1,√(1-x^2)≦y≦√(4-x^2)}

E_2={(x,y)|1≦x≦2,0≦y≦√(4-x^2)}

xy座標で逐次積分すると,

∬_{E_1}dxdylog(x^2+y^2)

=∫_0^1dx∫_{√(1-x^2)}^{√(4-x^2)}dylog(x^2+y^2)

∬_{E_2}dxdylog(x^2+y^2)

=∫_1^2dx∫_0^{√(4-x^2)}dylog(x^2+y^2)

ここで次の不定積分の公式を用います.

∫dylog(x^2+y^2)=ylog(x^2+y^2)-2y+2xarctan(y/x)(※)

∴I/4

=∬_{E_1}dxdylog(x^2+y^2)+∬_{E_2}dxdylog(x^2+y^2)

=∫_0^1dx∫_{√(1-x^2)}^{√(4-x^2)}dylog(x^2+y^2)+∫_1^2dx∫_0^{√(4-x^2)}dylog(x^2+y^2)

=∫_0^1dx[ylog(x^2+y^2)-2y+2xarctan(y/x)]_{√(1-x^2)}^{√(4-x^2)}+∫_1^2dx[ylog(x^2+y^2)-2y+2xarctan(y/x)]_0^{√(4-x^2)}

=∫_0^2{(√(4-x^2)log4-2√(4-x^2)+2xarctan(√(4-x^2)/x)}dx+2∫_0^1√(1-x^2)dx-2∫_0^1xarctan(√(1-x^2)/x)dx

=(2log2-2)∫_0^2√(4-x^2)dx+2∫_0^2xarctan(√(4-x^2)/x)}dx+2∫_0^1√(1-x^2)dx-2∫_0^1xarctan(√(1-x^2)/x)dx

=(2log2-2)(π・2^2/4)+2∫_0^2xarctan(√(4-x^2)/x)dx+2(π/4)-2∫_0^1xarctan(√(1-x^2)/x)dx

=2πlog2-3π/2+J

ここで

J=2∫_0^2xarctan(√(4-x^2)/x)dx-2∫_0^1xarctan(√(1-x^2)/x)dx

とおいた.まず,∫_0^1xarctan(√(1-x^2)/x)dxにおいて置換u=√(1-x^2)/x⇔x=1/(u^2+1)^{1/2}を施すと

∫_0^1xarctan(√(1-x^2)/x)dx

=∫_∞^0(u^2+1)^{-1/2}arctan(u)(-u)(u^2+1)^{-3/2}du

=∫_0^∞u(u^2+1)^{-2}arctan(u)du

次に∫_0^1xarctan(√(4-x^2)/x)dxにおいて置換u=√(4-x^2)/x⇔x=2/(u^2+1)^{1/2}を施すと

∫_0^1xarctan(√(4-x^2)/x)dx

=∫_∞^02(u^2+1)^{-1/2}arctan(u)(-2u)(u^2+1)^{-3/2}du

=4∫_0^∞u(u^2+1)^{-2}arctan(u)du

よって

J/6=∫_0^∞u(u^2+1)^{-2}arctan(u)du

=∫_0^∞{-(1/2)(u^2+1)^{-1}}'arctan(u)du

=[-(1/2)(u^2+1)^{-1}}arctan(u)]_0^∞+∫_0^∞(1/2)(u^2+1)^{-1}{arctan(u)}'du

=∫_0^∞(1/2)(u^2+1)^{-1}(u^2+1)^{-1}du

=(1/2)∫_0^∞(u^2+1)^{-2}du

=(1/2)∫_0^{π/2}(tan^2θ+1)^{-2}dθ/cos^2θ

=(1/2)∫_0^{π/2}cos^4θdθ/cos^2θ

=(1/2)∫_0^{π/2}cos^2θdθ

=(1/2)∫_0^{π/2}{(1-cos2θ)/2}dθ

=(1/2)[θ/2-sin2θ/4]_0^{π/2}=π/8

J=3π/4

こうして

I/4=2πlog2-3π/2+3π/4

=2πlog2-3π/4

I=8πlog2-3π

※これは直接微分して確かめてもよいですし,岩波数学公式Iであちこち調べると分かります.
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#1です。



A#1とは別の解(逐次積分法の解)です。
A#1より積分計算が複雑になります。

対称性により
積分領域D={(x,y)|1≤x^2+y^2≤4}
の積分Iは
積分領域D1={(x,y)|1≤x^2+y^2≤4, 0≤x, 0≤y }
の積分I1の4倍になります。
 I=4I1
D1の積分領域をx軸に平行な直線で2つに分割します。
 D1=D2+D3
D2={(x,y)|1≤x^2+y^2≤4, 0≤x, 1≤y≤2 }
D3={(x,y)|1≤x^2+y^2≤4, 0≤x, 0≤y≤1 }
 I1=I2+I3
ここで
積分領域D2における積分I2は
 I2=∫∫_D2 log(x^2+y^2)dxdy=∫[1,2] dy∫[0,√(4-y^2)] log(x^2+y^2)dx
  =∫[1,2] dy [xlog(x^2+y^2)-2(x-ytan^-1(x/y))][0,√(4-y^2)]
  =∫[1,2] [log(4)*√(4-y^2)-2{√(4-y^2)-ytan^-1(√(4-y^2)/y)}] dy
  ={(4π-3√3)log(4)-6π+9√3}/6
積分領域D3における積分I3は
 I3=∫∫_D3 log(x^2+y^2)dxdy=∫[0,1] dy∫[√(1-y^2),√(4-y^2)] log(x^2+y^2)dx
  =∫[0,1] dy [xlog(x^2+y^2)-2(x-ytan^-1(x/y))][√(1-y^2),√(4-y^2)]
  =∫[0,1] [log(4)*√(4-y^2)-2{√(4-y^2)-ytan^-1(√(4-y^2)/y)}
  +2*{√(1-y^2)-ytan^-1(√(1-y^2)/y)}] dy
  ={(4π+6√3)log(4)+3π-18√3}/12
 I=4I1=4(I2+I3)=8πlog(2) -3π
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V=∬_D log(x^2+y^2)dxdy, D:{(x,y)|1≤x^2+y^2≤4}


z=log(x^2+y^2)とおくと
この重積分は回転体の体積を表しているので、
z=log(x^2)をz軸のまわりに1回転して出来る回転体の体積公式を使って
積分を表すことが出来る。

V=π∫[log(1),log(4)](4-x^2)dz
=π∫[0,log(4)](4-e^z)dz
=π[4z-e^z][0,2log(2)]
=8πlog(2)-π{e^(log(4)) -1}
=8πlog(2)-π(4-1)
=8πlog(2) -3π
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∫[1->2]{∫[0->√(4-x^2)]1/√(x^2+y^2)dy}dx
=∫[1->2]{log(y+√(y^2+x^2)}[0->√(4-x^2)]dx
=∫[1->2]{log(√(4-x^2)+2)-logx)dx
となりました。ここからxについての積分ができません。
アドバイスをお願いします。

Aベストアンサー

このような形の積分は極座標変換するのが一般的かと思います。

D={(x,y)|1≦x^2+y^2≦4,0≦x,0≦y}.

x=rsin(θ).
y=rcos(θ).

この変数変換のヤコビアンは、r。

dxdy=rdrdθ.
積分領域DはE={(r,θ)|1≦r≦2,0≦θ≦π/4}に変わる。

∬[D]dxdy/(x^2+y^2)
=∬[E]drdθ/r
=∫[0,π/4]dθ∫[1,2]dr/r}
=πlog(2)/4.


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