人に聞けない痔の悩み、これでスッキリ >>

数学IIIの不定積分の問題で、
log(x+1)を積分する、という問題があります。

これを置換積分すると、答えが
(x+1)logx-(x+1)+cとなってしまいました。
でも、答えや類題では+cの前が-xになっています。

また、他サイトで見た公式には、
logxの不定積分は、
x(logx-1)+cとなっていて、この通りに計算しても+cの前は(x+1)になるとおもうんですが…


なぜ、+cの前は-xになるのでしょうか?

A 回答 (5件)

>(x+1)logx-(x+1)+cとなってしまいました。



(x+1)log(x+1)-(x+1)+c
ではないですか?

なお、-1+cもxに無関係な定数ですよ。
    • good
    • 4
この回答へのお礼

わかりました!まとめてCにするんですね。

ありがとうございました(*^^*)

お礼日時:2012/11/12 21:08

∫log(x+1)dx


=∫(x+1)'log(x+1)dx
=(x+1)log(x+1)-∫(x+1){log(x+1)}'dx
=(x+1)log(x+1)-∫(x+1)*1/(x+1)dx
=(x+1)log(x+1)-∫dx
(↑∫の中身が約分できて1になる)
=(x+1)log(x+1)-x+C…(答)
補足:{log(x+1)}'=1/(x+1)
∫f(x)g(x)dx
=F(x)g(x)-∫F(x){g(x)}'dx
(↑F(x)はf(x)を積分したものを表します)
    • good
    • 4
この回答へのお礼

ありがとうございます(*^^*)

お礼日時:2012/11/12 21:17

不定積分では、積分の計算の仕方により定数分の差が出る場合があります。



特に定数の差の置換を行う場合、元の変数に戻すとき、積分定数C以外に、形式的に
定数項が加わっている場合があります。
その場合も、定数項は、積分定数(任意定数)に含め、定数項は残らないようにします。
 
 ∫log(1+x)dx=∫log(u)du (1+x=uと置換,dx=du)
部分積分して
  =ulog(u)-∫du
  =ulog(u)-u+C
u=1+xを代入して元の変数に戻すと
  =(1+x)log(1+x)-(1+x)+C
  =(1+x){log(1+x)-1} +C ...(A)
括弧をばらすと
  =(1+x)log(1*x)-x-1+C ...(B)
C-1=C'とおくと
  =(1+x)log(1*x)-x +C' ...(C)
(A),(C)は積分定数C,C'を除いた積分結果は、(B)で分かるように「-1」の差がありますが
(A)、(C)共に正解ですが、(B)は定数項に「-1」がありますので問題があります(減点対象?)。、C-1=C'と置き換えて、定数項が積分定数だけになるように、定数項を積分定数に
含めるようにします。つまり、(C)の式のように定数項C'を積分定数だけにするのが普通です。

>logxの不定積分は、
x(logx-1)+cとなっていて、この通りに計算しても+cの前は(x+1)になるとおもうんですが

(x+1)にはなりません。
たとえなったとしても定数は積分定数に含めてしまうようにします。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

とても丁寧な回答をありがとうございました(*^^*)

わかりやすかったです!

お礼日時:2012/11/12 21:15

実数の範囲で考えます。

基本的に対数の積分は「部分積分」で計算します。
私ならこんな感じで計算します。(x+1)をxで微分すると1になることを利用して
∫log(x+1)dx = ∫(x+1)'log(x+1)dx
= (x+1)log(x+1)-∫(x+1)(1/x+1)dx
= (x+1)log(x+1)-∫dx
= (x+1)log(x+1)-(x+C)
= (x+1)log(x+1)-x+C

要するに、Cは積分定数なので、どんな実数でもOKです。
したがって、1+CをCとしてまとめても良いのです。

この思考回路は、大学で学習する「常微分方程式」で頻繁に使います。
ちなみに、微分積分学は原理さえ習得すれば計算は「慣れ」で対処できます。
頑張って精進してください。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

大学でも使うのですね !がんばります。


ご丁寧な回答ありがとうございました(*^^*)

お礼日時:2012/11/12 21:12

cも -1も「定数」ですよね。


まとめてしまえば。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

まとめてCって発想がうかびませんでした!ありがとうございました(*^^*)

お礼日時:2012/11/12 21:10

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q数(3)・不定積分 : log(x+2)、log(1-x)の積分の仕方

数(3)の不定積分で「log(x+2)」「log(1-x)」(どちらも底はeです)の積分をやったのですが、授業で理解しきれなかった事があります。


最初の問題は部分積分法の公式を使うと
∫log(x+2)=log(x+2)・x-∫1/(x+2)・xdx …(1)となり、
解答は
log(x+2)・x-x+2log|x+2|+C (Cは積分定数)

となるのですが、(1)式の右辺、「∫1/(x+2)・xdx」の部分を、何故、それぞれを約分して「∫1dx+∫1/2xdx」としてはいけないのかが判りません。


次の問題は、上と同じようにして部分積分法の公式を使うと
∫log(1-x)=log(1-x)・x+∫x/(1-x)dx …(2)となり、
解答は
x・log(1-x)-x-log|1-x|+C(Cは積分定数)

となるのですが、ここで、(2)式の右辺、∫x/(1-x)dxの部分を、部分分数に分けて∫{-1+1/(1-x)}にするのですが(今の式の『-1』は、(1-x)で割られない、普通の-1です)、そういう風に変形する意味が分かりません。


分かる方が居ましたら、教えて下さると嬉しいです!

数(3)の不定積分で「log(x+2)」「log(1-x)」(どちらも底はeです)の積分をやったのですが、授業で理解しきれなかった事があります。


最初の問題は部分積分法の公式を使うと
∫log(x+2)=log(x+2)・x-∫1/(x+2)・xdx …(1)となり、
解答は
log(x+2)・x-x+2log|x+2|+C (Cは積分定数)

となるのですが、(1)式の右辺、「∫1/(x+2)・xdx」の部分を、何故、それぞれを約分して「∫1dx+∫1/2xdx」としてはいけないのかが判りません。


次の問題は、上と同じようにして部分積分法の公式を使うと
∫log(1-x)=lo...続きを読む

Aベストアンサー

ひとつめ。
1/(x+2) = 1/x + 1/2 だと勘違いしていませんか?

ふたつめ。
(1)式とは違い、分子にxがあるので、部分分数分解をして、
分子にxがない状態にすると、積分しやすくなるからです。
この例でいくと、∫(-1+1/(1-x))dx = -∫1dx + ∫(1/(1-x))dxになるので、
あとはそのまま積分できます。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

あまりに簡単な問題ですいません。
1/(1-x)の積分形
1/(1+x)の積分形
を教えてください。

それと1/xの積分形はLog(x)と本に載っていますが
Ln(x)でも良いのでしょうか?

30歳を過ぎて頭がぼけてしまいました。
なにとぞ宜しく御願いします。

Aベストアンサー

∫1/(1-x)dx=-log(1-x)+C
∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

1/xを積分したときのlog(x)(正しくはlog|x|)は
常用対数(底が10)ではなく自然対数(底がe=2.71828183...)
なのでLn(x)と同じ意味です

Qlogの微分を教えてください。

logの微分を教えてください。
「^」とかあっても、よくわからないので、できれば、画像で><
今月15日の定期試験に向けて勉強していますが、答えがないので、わかりません。
そんな問題があと20題ほど。
答えだけでも結構です。解答プロセスはなんとか勉強しますが、
今は自力で自信のある解答を導くことができません。

どうぞお願いいたしますm(xx)m

Aベストアンサー

答えだけでいいならば、分母からlogeを取り除けば正解です。

Q∫{x/(x+1)}dxの解き方

とても初歩的なのですが、積分についての質問です。
∫{x/(x+1)}dxの解き方が分かりません。

以下のように解きました。

∫{x/(x+1)}dx
x+1=tとする
x=t-1よりdx=dt
よって
∫{x/(x+1)}dx=∫{(t-1)/t}dt
=∫(1-1/t)dt
=t-log(t)+C (C:積分定数)
=(x+1)-log(x+1)+C

こうなったのですが、どうやら計算違いのようで、解は「x-log(x+1)+C」となっていました。
解が出なかったわけではなく、最初の時点で「x/(x+1)」を「1-1/(x+1)」と変形したらちゃんと解は出たのですが、上記の解法の間違いが分からず、もやもやしています。
どこが間違っているのでしょうか。
置換積分が使えるのは特定の数式の場合のみなのでしょうか。
積分は不得意なので、見苦しい点あるかと思いますが、ご指摘お願いします。

Aベストアンサー

見たかんじ合っていそうです。

=(x+1)-log(x+1)+C

=x-log(x+1)+(C+1)

C+1を積分定数と考えればいいでしょう。

Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む

Qx√xの微分

x√xの微分

こんばんは。微分積分の教科書を進めているのですが、問題のx√xの微分の方法が分かりません。
その前の説明で、「√xの微分は、(√x)' = 1/2√x」 と書いてあるのですが、
上記の問を自分で解こうとすると
(x√x)' = 1 X 1/2√x となり、結局1/2√xとなってしまいます。
答えは3/2√xなのですが、どのようにして解けばいいのでしょうか?
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

 x√x=x^(3/2) と書き換えて微分するのが簡単です。

 もし積の微分を使うのであれば、次のようにします。

  (x√x)' =(x)'√x+x(√x)' =1√x+x 1/(2√x) =√x+√x/2 =3/2 √x

Q不定積分の計算で出た定数は捨てて良いのでしょうか

 46歳の会社員です。思うところがあって、1 年前から数学を独学で勉強しています。
 非常にレベルが低い質問をしているのかもしれませんが、周りに聞ける人がいないのでここに質問をすることにしました。

 不定積分の計算で出てきた定数は積分定数と扱って捨ててよいのでしょうか ?
 例えば、
∫(x + 1)^2 dx ((x + 1)の 2乗を積分)

∫(x^2 + 2 * x + 1) dx
に変形すると、
x^3 / 3 + x^2 + x
になりますが、

x + 1 = t とおいて
∫t^2 dt
に変形すると、
x^3 / 3 + x^2 + x + 1 / 3
となり、定数 1 / 3 が出てきます。

 また、
∫{2 / (2 * x + 2)} dx

∫{1 / (x + 1)} dx
に変形すると、
log|x + 1|
になりますが、

2 * x + 2 = t とおいて
∫(2 / t) * (1 / 2) dt
に変形すると、
log|2 * x + 2|
になります。

 これを
log|2 * x + 2| = log|(x + 1) * 2| = log|x + 1| + log|2|
と変形すると、定数 log|2| が出てきます。

 これらの定数は積分定数として扱って捨ててよいのでしょうか ?

 46歳の会社員です。思うところがあって、1 年前から数学を独学で勉強しています。
 非常にレベルが低い質問をしているのかもしれませんが、周りに聞ける人がいないのでここに質問をすることにしました。

 不定積分の計算で出てきた定数は積分定数と扱って捨ててよいのでしょうか ?
 例えば、
∫(x + 1)^2 dx ((x + 1)の 2乗を積分)

∫(x^2 + 2 * x + 1) dx
に変形すると、
x^3 / 3 + x^2 + x
になりますが、

x + 1 = t とおいて
∫t^2 dt
に変形すると、
x^3 / 3 + x^2 + x + 1 / 3
となり、定数 1 / 3 ...続きを読む

Aベストアンサー

たとえば

y=x^2+1 を微分すれば y=2x
y=x^2 を微分しても y=2x

ですよね.
積分する,すなわち原始関数を計算するというのは
微分するとその関数になるものを求めるということで
たとえば
y=2x を積分したばあい,y=x^2+1 も y=x^2 も
y=2x の原始関数です.

微分すると定数が消えてしまうので,
その逆である積分では,答えに「微分で消えてしまう定数」の分の
差がでてしまうのです.

F'(x)=G'(x) ならばある定数Cが存在して
F(x)-G(x)=C
とできる(FとGには厳密には条件がありますが,微分可能くらいで実用上十分)

ということです.
#これの証明は簡単.平均値の定理でほぼおわり
ですんで,積分の結果には定数分のゆらぎがあります.

その揺らぎを「積分定数」として
x^2 + C
とかいうように,Cで表現するのです.

この「C」の任意性で,見た目が一見異なる関数が
ひとつの関数の原始関数であることが数IIIではありますし
微分方程式の一般解も一見見た目が違うものがでてくることがあります.


ちなみに,No.2は「積分を計算する」という言葉の意味と
定積分・不定積分を混同しているとかいろいろ残念なので
気にしないほうがいいです.
積分定数という言葉は普通に使われます.

たとえば

y=x^2+1 を微分すれば y=2x
y=x^2 を微分しても y=2x

ですよね.
積分する,すなわち原始関数を計算するというのは
微分するとその関数になるものを求めるということで
たとえば
y=2x を積分したばあい,y=x^2+1 も y=x^2 も
y=2x の原始関数です.

微分すると定数が消えてしまうので,
その逆である積分では,答えに「微分で消えてしまう定数」の分の
差がでてしまうのです.

F'(x)=G'(x) ならばある定数Cが存在して
F(x)-G(x)=C
とできる(FとGには厳密には条件がありますが,微分可能くらいで実用...続きを読む

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
...続きを読む


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング