微分方程式　線形　非線形

Question

前回の質問の続きです。
前回の質問内容：http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7818206.html

ラプラス方程式が、2階線形偏微分方程式、
ポアソン方程式が、2階非線形偏微分方程式であることは
理解できました。ありがとうございます。

微分方程式で参考書やインターネットにあった線形微分方程式と
非線形微分方程式を以下に示します。

線形微分方程式
（1）y”+y’-2x＝0
（2）y’+xy=1
（3）(x-1)y''-xy'+y=0

非線形微分方程式
（1）（y”）^2+y’-2x=0
（2）x（y”’）^3+y’=3
（3）y・y’+xy=1

上記、線形/非線形の分類に間違いはあるでしょうか？

非線形微分方程式の(3)y・y’+xy=1は、なぜ非線形となるのでしょうか？
y・y’+xy=1⇒y’+x=1/y⇒y’+x-1/y=0は線形ではないでしょうか？

線形微分方程式（2）y’+xy=1も、xy’+xy=1となると非線形になるの
でしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

alice_44 · Accepted Answer

←A No.3 補足

＞ 多項式においてxとyを共に変数とすると、
＞ xyもyyもどちらも2次ですよね？
A No.3 を、ほとんど読んでないようですね？

xy も yy も { x,y } については 2 次です。
しかし、y についての微分方程式の次数を数えるときは、
{ y,y',y'',y''',… } についての次数を見るのです。

x は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれていません。
yy' は、y と y' が 1 次づつの積で { y,y',y'',y''',… } については 2 次、
xy' は、{ y,y',y'',y''',… } に含まれるのが y だけで 1 次です。

(u-1)(v^2+v+1)w が、{ u,v } について 3 次であることも解りますか？

また、
＞ yy’とxy’におけるxとyはどちらも微分していないので、
のようなことが気になってしまうなら、

yy’+xy=1 は、AB+xA-1=0 の A,B に { y,y',y'',y''',… } の
どれかを代入したもの。AB+xA-1 は { A,B } について何次式か？
と考えてみるとよいと思います。

微分方程式を、多変数多項式=0 の多変数に y または y の高次導関数を
代入したものと見たときに、左辺の多項式の次数が微分方程式の次数。
それが 1 次なら、線型。更に定数項が 0 なら、同次 1 次です。

alice_44 · Answer

微分方程式というより、高校数Iで「多項式の次数」を確認した方がよいかも。
複数の変数に関する次数は、各変数に別のひとつの変数を代入したときの
「別の変数」に関する次数と一致します。
例えば、多項式 (u-1)(v^2+v+1) は、u について 1 次、v について 2 次、
{u,v} については 3 次です。u = v = t を代入すると、t について 3 次
ですからね。

これと同様に
(a) yy’+xy=1
(b) xy’+xy=1
が {y,y'} について何次式かを考えると、(a) は 2 次式(項 yy' が 2 次)、
(b) は 1 次式になっています。項 xy' の x は、{y,y'} に入っていないので
微分方程式の次数には関係しません。

ddtddtddt · Answer

線形常微分方程式の一般形をあげておきます。でも書ける記号に制限があるので、3階にとどめておきます・・・(^^；)。

a(x)・y’’’＋b(x)・y’’＋c(x)・y’＋d(x)・y＝p(x)　　　　(1)

ここで、a(x)～d(x)とp(x)は既知関数です。つまりyのｎ階微分の一次式（足し算）になるのが、線形微分方程式です。その意味で、y’+x-1/y=0は、1/yが入っているので駄目です。もちろん割ったら線形微分方程式になっちゃった、って場合はありますよ。その辺はもう、用語の問題です。一次式の事を、線形式とか線形結合とも言います。線形の名は、ここから来ています（例：線形代数　⇒　一次式，一次関数の一般理論とも言える）。

線形微分方程式が重要なのは、ほとんど必ず「解ける」からです。一番素直なのは、やはり定数係数のケースなので、例としては、

a・y’＋b・y＝p(x)　　　(2)

をあげときます。a，bはxによらない定数です。まず定数係数の斉次方程式、

a・y’＋b・y＝0　　　　　(3)

に関しては、yの何回微分であろうと、特性方程式による解の公式があります。(3)に対してその解を、Ｃ・f(x)としときます。Ｃは積分定数です。Ｃ・f(x)は、(3)の一般解です。

非斉次の方程式(2)の一般解はと言うと、何でも良いから（どんな手段を使っても良いから）、(2)を満たす関数を一個見つければ良いんです。それをg(x)とします。g(x)は(3)の特殊解と言われますが、(3)の一般解は、

y(x)＝Ｃ・f(x)＋g(x)　　　(4)

となります。Ｃ・f(x)は「＝0」を満たし、g(x)は「＝p(x)」を満たす関数です。(4)は結果として、(2)の解は「＝0＋p(x)（＝p(x)）」に対応して、Ｃ・f(x)とg(x)の足し算だと言っています。これがどういう意味を持つかと言うと、次のようになります。

(2)や(3)の左辺の係数a，bは多くの場合、問題にしている系の性質から決まり、系の挙動を定義します。一方、右辺の0やp(x)は、系に対する入力で、y(x)はその出力です。従って(4)の意味は、(2)や(3)の左辺で表される系の出力は、入力の足し算に従うという事です。すなわち、

a・y’＋b・y＝p(x)　　　(5)

と、

a・y’＋b・y＝q(x)　　　(6)

の一般解Ｊ(x)とＫ(x)が見つかったら、Ｊ(x)＋Ｋ(x)は、

a・y’＋b・y＝p(x)＋q(x)　　　(7)

の一般解なんですよ。

出力が入力の足し算に従う事（足し算を線形と呼んだりする事）から、線形微分方程式の名が付きます。そしてそのような事が一般的に可能なのは、微分の性質から、(1)の形に限られます。Ｊ(x)＋Ｋ(x)を(7)に代入して、(5)，(6)を考慮すれば明らかですよね？。

その意味で、ラプラス方程式はポアソン方程式に対する斉次方程式であり、どちらも線形偏微分方程式です。ここからグリーン関数の方法が可能になって、常であろうと偏であろうと、線形微分方程式の形式解は、ほぼいつでも見つかります。

ereserve67 · Answer

>ポアソン方程式が、2階非線形偏微分方程式である
Poisson（ポアソン）方程式は線形ですよ．線形非同次です．同次は斉次ともいいます．同次，非同次の概念は線形方程式を解くにあたって重要です．

常微分方程式の線形，非線形の分類に間違いはありません．

>非線形微分方程式
>（1）（y”）^2+y’-2x=0
>（2）x（y”’）^3+y’=3
>（3）y・y’+xy=1

これらはy,y',y'',・・・について1次でない（線形でない）から非線形なのです．

>非線形微分方程式の(3)y・y’+xy=1は、なぜ非線形となるのでしょうか？

(3)もyy'は2次でしょう．だから非線形です．

>y・y’+xy=1⇒y’+x=1/y⇒y’+x-1/y=0は線形ではないでしょうか？

1/yは1次ではありません．これが非線形の項です．

>線形微分方程式（2）y’+xy=1も、xy’+xy=1となると非線形になるの
>でしょうか？

いえy',yの1次なので線形です．

なお，線形の(1)(2)は非同次，(3)は同次．

微分方程式 線形 非線形

←A No.3 補足

微分方程式というより、高校数Iで「多項式の次数」を確認した方がよいかも。

この回答への補足

線形常微分方程式の一般形をあげておきます。

この回答への補足

>ポアソン方程式が、2階非線形偏微分方程式である

この回答への補足

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