切頭四角柱の体積の求め方は公式で求めることが分かりました。ただ、なぜそうなるのが分かりません。昔の頭がいいかたの発見によってそれが法則じみた公式になったのでしょうか?
もしも証明が可能でしたら、いつ学べるのでしょうか?

A 回答 (1件)

>昔の頭がいいかたの発見によってそれが法則じみた公式になったのでしょうか?


頭がいいとは関係なく、日頃の観察と偶然の発見から出てきた公式でしょう。
四角柱の容器に水をいれて傾けた時の各辺の液面までの高さa,b,c,dの平均やaとcの平均、bとdの平均が、四角柱を垂直に立てた時の高さhになっていることに気がついたのでしょう。
式で書けば
(a+b+c+d)/4=h
(a+c)/2=(b+d)/2=h
この時,切頭四角柱の体積Vは、底面積をSとすれば
V=S(a+b+c+d)/4=Sh
この公式は小中学生でも使える簡単な公式です。

しかし、この証明は重積分を用いますので、重積分を習ってからでしょう。高校あるいは大学以上で重積分を習った後でないと無理でしょう。

証明は切頭四角柱の底面のx方向の長さ、y方向の長さをそれぞれm,nとおきます。切頭四角柱の各辺の高さを反時計回りにa,b,c,dとおきます。長さdの辺に重ねてz軸にとり、dの辺の下端(底面上の端)を原点O(0,0)にとると
切頭四角柱の上面の表面の方程式は
 f(x,y)=d +(a-d)x/m -(a-b)y/n -(a-b+c-d)xy/(mn), 0≦x≦m,0≦y≦n)
但し、(a+c)/2=(b+d)/2=h, 底面の面積S=mn

接頭四角柱の体積Vは
 V=∬[0≦x≦m,0≦y≦n] f(x,y)dxdy
  =∫[0,m]dx∫[0,n] {d +(a-d)x/m -(a-b)y/n -(a-b+c-d)xy/(mn)}dy
  =(3d-c+3b-a)*mn/4
b+d=a+cの関係より
 V=(a+b+c+d)mn/4
  =S(a+b+c+d)/4
  =Sh
となります。
[証明終り]
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。回答を読んでも今のところちんぷんかんぷんです。重積分に早く辿り着けるように日々精進します。

お礼日時:2012/12/05 18:44

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π{(x+Δx)^2-x^2}
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Aベストアンサー

3つのベクトル↑A=(a,0,0),↑B=(b*cosα,b*sinα,0),↑C=(d,e,f)があって
(a,b,c,f>0)
今、
d^2+e^2+f^2=c^2・・・・・(1)
ac*cosβ=ad・・・・・(2)
bc*cosγ=bd*cosα+be*sinα・・・・・(3)
が成立しています。(ベクトルの内積)
(2)より
d=c*cosβ
(3)より
e=(c*cosγ-d*cosα)/sinα=c(cosγ-cosαcosβ)/sinα
(1)に代入して
c^2*cos^2β+c^2*(cosγ-cosαcosβ)^2/sin^2α+f^2=c^2
f=c*{1-cos^2β-(cosγ-cosαcosβ)^2/sin^2α}^(1/2)
=c*{sin^2β-(cosγ-cosαcosβ)^2/sin^2α}^(1/2)

ここで↑Aと↑Bからできる平行四辺形の面積は
ab*sinα
これに高さ(f)をかけると体積になりますので
体積V=ab*sinα*c*{sin^2β-(cosγ-cosαcosβ)^2/sin^2α}^(1/2)
=abc*{sin^2αsin^2β-(cosγ-cosαcosβ)^2}^(1/2)
=abc*{sin^2αsin^2β-cos^2γ-cos^2αcos^2β+2cosαcosβcosγ}^(1/2)
=abc*{(1-cos^2α)(1-cos^2β)-cos^2γ-cos^2αcos^2β+2cosαcosβcosγ}^(1/2)
=abc*{1-cos^2α-cos^2β-cos^2γ+2cosαcosβcosγ}^(1/2)

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c^2*cos^2β+c^2*(cosγ-cosαcosβ)^2/sin^2α+f^2=c^2
f=c*{1-cos^2β-(cosγ-cosαcosβ)^2/sin^2α}^(1/2)
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