切頭四角柱の体積の求め方は公式で求めることが分かりました。ただ、なぜそうなるのが分かりません。昔の頭がいいかたの発見によってそれが法則じみた公式になったのでしょうか?
もしも証明が可能でしたら、いつ学べるのでしょうか?

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A 回答 (1件)

>昔の頭がいいかたの発見によってそれが法則じみた公式になったのでしょうか?


頭がいいとは関係なく、日頃の観察と偶然の発見から出てきた公式でしょう。
四角柱の容器に水をいれて傾けた時の各辺の液面までの高さa,b,c,dの平均やaとcの平均、bとdの平均が、四角柱を垂直に立てた時の高さhになっていることに気がついたのでしょう。
式で書けば
(a+b+c+d)/4=h
(a+c)/2=(b+d)/2=h
この時,切頭四角柱の体積Vは、底面積をSとすれば
V=S(a+b+c+d)/4=Sh
この公式は小中学生でも使える簡単な公式です。

しかし、この証明は重積分を用いますので、重積分を習ってからでしょう。高校あるいは大学以上で重積分を習った後でないと無理でしょう。

証明は切頭四角柱の底面のx方向の長さ、y方向の長さをそれぞれm,nとおきます。切頭四角柱の各辺の高さを反時計回りにa,b,c,dとおきます。長さdの辺に重ねてz軸にとり、dの辺の下端(底面上の端)を原点O(0,0)にとると
切頭四角柱の上面の表面の方程式は
 f(x,y)=d +(a-d)x/m -(a-b)y/n -(a-b+c-d)xy/(mn), 0≦x≦m,0≦y≦n)
但し、(a+c)/2=(b+d)/2=h, 底面の面積S=mn

接頭四角柱の体積Vは
 V=∬[0≦x≦m,0≦y≦n] f(x,y)dxdy
  =∫[0,m]dx∫[0,n] {d +(a-d)x/m -(a-b)y/n -(a-b+c-d)xy/(mn)}dy
  =(3d-c+3b-a)*mn/4
b+d=a+cの関係より
 V=(a+b+c+d)mn/4
  =S(a+b+c+d)/4
  =Sh
となります。
[証明終り]
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。回答を読んでも今のところちんぷんかんぷんです。重積分に早く辿り着けるように日々精進します。

お礼日時:2012/12/05 18:44

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都内女子大学生(文系)です。中2のコの家庭教師をしているのですが、長年数学から遠ざかっていたため、中学生の問題でも自信のないところがあります(;_;)

さて、表題の件ですが、三角錐や四角錐の体積はどのように求めるのでしょうか?また、なぜその式で求められるのか、中学生にも分かるように説明をいただけるとありがたいです。図示が出来ないので難しいところもあるかとは思いますが。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

錐の体積は,柱の体積の1/3です.
証明は下記URL参照.
要は柱の切り方,です.

参考URL:http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/6019/sehunan.html

Q錐体、柱の体積は底面の形によらず同じ公式で求まるか

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

その通りです

証明は,相似と積分の応用でできます.
積分を使わない場合は・・・数列の和の極限です(本質的に積分)

http://math-arithmetic.blogspot.com/2011/02/13.html

なんてところに積分での証明を発見
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Q超緊急です!!四角錐台の体積の求め方

中学一年の者です。とても急いでいるので質問が乱暴になってしまってすいません。

どなたか、四角錐台(四角錐の上部を切り取ったようなもの)の体積の求め方を教えてください!!
お願いします。

Aベストアンサー

No.1さんのおっしゃるととおり、切り取られていない四角錐から切り取った四角錐の体積を引けばいいですよね。

◆まずは、問題に切り取られていない場合の四角錐の高さがわかっている場合。

四角錐台の底辺をAとBとし、
四角錐台の上辺をaとbとします。

更に切り取る前の四角錐の高さをH、
四角錐台の高さをhとします。

四角錐台の体積=(A×B×H×1/3)-{a×b×(H-h)×1/3}
となります。

◆切り取る前の四角錐の高さがわからない場合は、底辺と上辺の比から高さを計算します。(A/a=B/bです)

切り取る前の四角錐の高さH=A/a×h
ではないかと思います。


もう二十五年以上も前の勉強なので、自信ありませんが…。


勉強頑張って下さい。

Q数Ⅲの積分で、y軸回転の体積を求める際に V=∫ 2xf(x)dx という公式(バームクーヘン分

数Ⅲの積分で、y軸回転の体積を求める際に

V=∫ 2xf(x)dx

という公式(バームクーヘン分割)がありますが、2次試験や模試で使うと減点対象になるのでしょうか?

Aベストアンサー

No.1です。

>でしたら、

>ΔV=π{(x+Δx)^2-x^2}×f(x)
>として、
>Δx^2を無視して
>V=∫ 2πxf(x)dx

>のように説明すれば使って大丈夫ということでしょうか?

いいんじゃないでしょうか。

π{(x+Δx)^2-x^2}
が「輪っか」の断面積ですから、それに「高さ:f(x) 」をかけたものが「微小円筒部分の体積」になります。

通常は、Δx が非常に小さいので、「円周長さ:2パイx 」に「輪っかの厚さ:Δx 」をかけたもの
  2パイxΔx
が「輪っか」の断面積で、これに「高さ:f(x) 」をかけた「微小円筒部分の体積」を「半径」で積分します。

そういった「論理的プロセス」を示せば減点にはなり得ません。

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解答では、「△BCDを底面とすると、ADが高さになる。」…とありますが、底面△BCDから頂点に伸びる線は3本あり(AD、AC、AB)、なぜ、ADが「高さ」になるのか、わかりません。

正四面体であれば答えられるのですが、この問題は考えてもまったく分かりませんでした。

教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

△DABと△DACとでピタゴラスの定理が成立します。
AB^2=DA^2+DB^2
AC^2=DC^2+AD^2
したがって
∠ADC=∠ADB=∠R (直角)
△BCDの平面上の交差する直線DBと直線DCに直線(線分)ADは直角だから、
点Dは頂点Aから底面BCDに下した垂線の足といえるわけです。
つまり底面BCD、頂点Aの四面体の高さがADの長さになるということです。


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