大学の授業で、線形2階偏微分方程式の分類について説明をしなくては
ならのですが、教科書には双曲型、放物型、楕円型の3つに分類され、
各々の標準形を求めているのですがその3つの分類には何か数学的意味
があるのでしょうか?そして、この3つの分類はどんなところで使われ
るのでしょうか?

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A 回答 (1件)

数学的な意味じゃないですけど・・


三次元空間における円錐面と平面の交点集合ってことですよねぇ・・
円錐面の中心線と法線との角度をΘとして、
中心線と平面の鉛直線との角度を「π/2-φ」とした場合に、
φ<Θが楕円:φ=Θが放物線:φ>Θが双曲線ってことで・・

物理的な運動例・・
楕円:惑星の運動
放物線:地表面での弾道
双曲線:金属原子核による電子の散乱

うーん。全然回答になってない・・(--;
顔あらって出なおしてきます・・
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この回答へのお礼

完全には理解してないのですが、なんとなくイメージがつかめました。
質問の仕方もおおざっぱでわかりにくかったのに、答えていただいて
ありがとうございました。これからも質問することがあると思うので、
その時はよろしくお願いします。

お礼日時:2001/05/24 16:37

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Q偏微分方程式の型と解の性質の関係

偏微分方程式の型を2次曲線の種類に従って大きく放物型, 双曲型, 楕円型などと分類し, 偏微分方程式の解の性質が, その方程式の型のいかんによって大きく左右されることはよく知られていますが, 2次曲線の分類と偏微分方程式の解の性質が結びつく理由は何でしょうか ? 必然的な理由があるのでしょうか ?

Aベストアンサー

実数x,yの実関数であるu(x,y)に関する、2階準線形偏微分方程式、つまり
u,ux,uy,x,yの実関数であるα,β,γ,δがあって、
α uxx + β uxy + γ uyy + δ = 0 (uxxはuのxによる二階偏微分。他も同様)
である場合の分類ですね。

x y 平面上のある曲線Cについて、Cの接線方向に沿った全微分を考えるんです。dy/dxをCの接線の傾きとしますと、
d(ux)=(uxx)dx+(uxy)dy
d(uy)=(uyx)dx+(uyy)dy
がいつも満たされているんで、これを使って
(α/dx)(d(ux)-(uxy)dy)+ β uxy + (γ /dy)(d(uy)-(uxy) dx)+ δ = 0
より、
(uxy)(α((dy/dx)^2) - β(dy/dx) + γ) = α(d(ux)/dx)(dy/dx)+γ(d(uy)/dx)+δ(dy/dx)
を得る。

そこで左辺の
α((dy/dx)^2) - β(dy/dx) + γ
がいつも0になるようにCを選べば、
α(d(ux)/dx)(dy/dx)+γ(d(uy)/dx)+δ(dy/dx)=0
となって、全微分方程式に帰着でき、アトはまじめにやれば何とかなりそうな感じである。
そういう、丁度都合の良いCはどうやって見つければよいでしょうか。
このために、
α((dy/dx)^2) - β(dy/dx) + γ=0
を満たす曲線Cが点(x,y)でどっちを向いているかと考えるんです。(これを「特性方向」と呼びます。)
(dy/dx)=(β±√(β^2-4αγ))/(2α)
がその方向である。

●根号の中が正(双曲型)なら、dy/dx=f,gという二つの方向がある。そのうちの一方(たとえばf)を選んで、各点でのdy/dx=f(x,y)の方向を繋いで作った曲線C、これが特性曲線です。つまりC上では常にdy/dx=fである。逆にいえば、全ての点を、このような特性曲線が二つ(特性方向に沿って)通っていて、丁度、平面を網目で覆っている感じになってる。
しかし、根号の中が0(放物型)なら特性方向は一つですし、負(楕円型)だとそういう都合の良い方向はない。そんなわけで、アプローチが違ってくる。

というのが、「双曲型・放物型・楕円型」の分類のひとつの意味かと思います。

実数x,yの実関数であるu(x,y)に関する、2階準線形偏微分方程式、つまり
u,ux,uy,x,yの実関数であるα,β,γ,δがあって、
α uxx + β uxy + γ uyy + δ = 0 (uxxはuのxによる二階偏微分。他も同様)
である場合の分類ですね。

x y 平面上のある曲線Cについて、Cの接線方向に沿った全微分を考えるんです。dy/dxをCの接線の傾きとしますと、
d(ux)=(uxx)dx+(uxy)dy
d(uy)=(uyx)dx+(uyy)dy
がいつも満たされているんで、これを使って
(α/dx)(d(ux)-(uxy)dy)+ β uxy + (γ /dy)(d(uy)-(uxy) dx)+ δ = 0
より、
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