No.2ベストアンサー
- 回答日時:
Dの定義式は何でしょうか?
停留点候補を(p,q)とすると
D(p,q)=fxy(p,q)^2 - fxx(p,q)fyy(p,q)
でいいですか?
>偏導関数が0となる点を調べたところ
>x軸とy軸という解が出ました。
停留点候補は
(0,a),(b,0) (a, bは任意の実数)
>この場合どうすればいいかわからないので
D(0,a)=D(b,0)=0 (a, bは任意の実数)
極値の定義に基づいて判定すればいいでしょう。
極小値の定義(狭義の定義):
(x0,y0)の近傍の任意点(x,y)に対してf(x0,y0)<f(x,y)を満たすとき
(x0,y0)でf(x,y)は極小値f(x0,y0)をとるという。
極大値の定義(狭義の定義):
(x0,y0)の近傍の任意点(x,y)に対してf(x0,y0)>f(x,y)を満たすとき
(x0,y0)でf(x,y)は極大値f(x0,y0)をとるという。
これらの定義を使えば f(x,y)=x^3*y^2について
停留点候補
(0,a),(b,0) (a, bは任意の実数)
のいずれについても(狭義の意味での)極値を取らないことが分かります。
∵f(0,a)=0=f(0,y)=0 (y≠a),
f(0,a)=0<f(x,a)=x^3*a^2 (x>0,a≠0),
f(0,a)=0>f(x,a)=x^3*a^2 (x<0,a≠0),
極大値、極小値の(狭義の)定義も満たさない。
∵f(b,0)=0=f(x,0) (x≠b),
f(b,0)=0<f(b,y)=b^3*y^2 (y≠0,b>0)
f(b,0)=0>f(b,y)=b^3*y^2 (y≠0,b<0)
極大値、極小値の(狭義の)定義も満たさない。
また停留点(0,0)について
f(0,0)=0=f(0,y) (y≠0)
f(0,0)=0=f(x,0) (x≠0)
f(0,0)=0<f(t,t)=t^5 (t>0)
f(0,0)=0>f(t,t)=t^5 (t<0)
極大値、極小値の(狭義の)定義も満たさない。
以上から、(狭義の意味で)極値が存在しないことが言えます。
参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/極値
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