【無料配信♪】Renta !全タテコミ作品第1話

f(x,y)=(x^3)(y^2)の極値を求めよ
という問題なのですが、偏導関数が0となる点を調べたところ
x軸とy軸という解が出ました。しかし、これをDに代入すると
D=0となり、極値の判定ができません。
D=0の場合、関数により対処法が違うということは知っているのですが
この場合どうすればいいかわからないのでお力をお借りしたいです。
回答よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

Dの定義式は何でしょうか?


停留点候補を(p,q)とすると
D(p,q)=fxy(p,q)^2 - fxx(p,q)fyy(p,q)
でいいですか?

>偏導関数が0となる点を調べたところ
>x軸とy軸という解が出ました。

停留点候補は
(0,a),(b,0) (a, bは任意の実数)

>この場合どうすればいいかわからないので
D(0,a)=D(b,0)=0  (a, bは任意の実数)

極値の定義に基づいて判定すればいいでしょう。
極小値の定義(狭義の定義):
 (x0,y0)の近傍の任意点(x,y)に対してf(x0,y0)<f(x,y)を満たすとき
 (x0,y0)でf(x,y)は極小値f(x0,y0)をとるという。

極大値の定義(狭義の定義):
 (x0,y0)の近傍の任意点(x,y)に対してf(x0,y0)>f(x,y)を満たすとき
 (x0,y0)でf(x,y)は極大値f(x0,y0)をとるという。

これらの定義を使えば f(x,y)=x^3*y^2について

停留点候補
(0,a),(b,0) (a, bは任意の実数)
のいずれについても(狭義の意味での)極値を取らないことが分かります。
∵f(0,a)=0=f(0,y)=0 (y≠a),
f(0,a)=0<f(x,a)=x^3*a^2 (x>0,a≠0),
f(0,a)=0>f(x,a)=x^3*a^2 (x<0,a≠0),
  極大値、極小値の(狭義の)定義も満たさない。
∵f(b,0)=0=f(x,0) (x≠b),
  f(b,0)=0<f(b,y)=b^3*y^2 (y≠0,b>0)
  f(b,0)=0>f(b,y)=b^3*y^2 (y≠0,b<0)
  極大値、極小値の(狭義の)定義も満たさない。
また停留点(0,0)について
  f(0,0)=0=f(0,y) (y≠0)
  f(0,0)=0=f(x,0) (x≠0)
  f(0,0)=0<f(t,t)=t^5 (t>0)
  f(0,0)=0>f(t,t)=t^5 (t<0)
  極大値、極小値の(狭義の)定義も満たさない。
以上から、(狭義の意味で)極値が存在しないことが言えます。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/極値
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
Dの式は回答にあるもので合っています。
おかげさまで理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時:2012/12/08 14:57

例えばy軸上の点(0, y*)を考えてみる。


y*は0でない数とする。
この点の任意の近傍と領域x>0の共通部分ではf(x,y)>0。
領域x<0との共通部分ではf(x,y)<0なのでf(0,y*)=0は極大でも極小でもない。
といった感じでチェックするのはどうでしょう。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
教科書にはこの回答にあるような方法があったのですが
いまいち理解できませんでした。

お礼日時:2012/12/08 14:53

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Q偏微分を使う極値問題の回答をお願いします。

偏微分を使う極値問題の回答をお願いします。

以下の問題を本で調べたのですがわからなかったので回答をお願いします。

f(x,y) = x^3 + xy^2 + 4xy

z = f(x,y)の極値を求めたいのです。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

fx(x,y)=3x^2+y^2+4y,fy(x,y)=2xy+4x
停留点候補
fx(x,y)=0,fy(x,y)=0から
[x=0,y=-4],[x=0,y=0],[x=-2/√3,y=-2],[x=2/√3,y=-2]

fxx(x,y)=6x,fyy(x,y)=2x,fxy(x,y)=2y+4

[x=0,y=-4]の場合
A=fxx(0,-4)=0,B=fxy(0,-4)=-4,C=fyy(0,-4)=0,D=B^2-AC=16
判別式D>0なので 極値を持たない。鞍点。

[x=0,y=0]の場合
A=fxx(0,0)=0,B=fxy(0,0)=4,C=fyy(0,0)=0,D=B^2-AC=16
判別式D>0なので 極値を持たない。鞍点。

[x=-2/√3,y=-2]の場合
A=fxx(-2/√3,-2)=-4√3,B=fxy(-2/√3,-2)=0,C=fyy(-2/√3,-2)=-4/√3,D=B^2-AC=-16
A<0,判別式D<0なので 極大値=f(-2/√3,-2)=(16/9)√3


[x=2/√3,y=-2]の場合
A=fxx(2/√3,-2)=4√3,B=fxy(2/√3,-2)=0,C=fyy(2/√3,-2)=4/√3,D=B^2-AC=-16
A>0,判別式D<0なので 極小値=f(2/√3,-2)=-(16/9)√3

解説は参考URLをご覧下さい。

参考URL:http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/101ksk.html

fx(x,y)=3x^2+y^2+4y,fy(x,y)=2xy+4x
停留点候補
fx(x,y)=0,fy(x,y)=0から
[x=0,y=-4],[x=0,y=0],[x=-2/√3,y=-2],[x=2/√3,y=-2]

fxx(x,y)=6x,fyy(x,y)=2x,fxy(x,y)=2y+4

[x=0,y=-4]の場合
A=fxx(0,-4)=0,B=fxy(0,-4)=-4,C=fyy(0,-4)=0,D=B^2-AC=16
判別式D>0なので 極値を持たない。鞍点。

[x=0,y=0]の場合
A=fxx(0,0)=0,B=fxy(0,0)=4,C=fyy(0,0)=0,D=B^2-AC=16
判別式D>0なので 極値を持たない。鞍点。

[x=-2/√3,y=-2]の場合
A=fxx(-2/√3,-2)=-4√3,B=fxy(-2/√3,-2)=0,C=fyy(-2/√3,-2)=-4/√3,D=B^2-AC=-16
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Q2変数関数の極値を求める問題について

微分積分の回答をお願いいたします。

関数z=f(x,y)=x^3-3xy+y^2について次の問いを求めよ
1、z=f(x,y)の偏導関数を計算し、極値の候補を求めよ、
2、z=f(x,y)の第二次偏導関数を計算し、上で求めた候補が極値かどうか求めよ、
また、極値ならば極大か極小か吟味せよ。

回答をお願いいたします。

Aベストアンサー

関数z=f(x,y)=x^3-3xy+y^2 
1、
z=f(x,y)の

偏導関数
 fx=3x^2-3y, fy=-3x+2y
連立方程式
 fx=fy=0
を解いて極値の候補点(停留点)を求めると
 (x,y)=(0,0),(3/2,9/4)
極値の候補
 f(0,0)=0,
 f(3/2,9/4)=-27/16

2、
fxx=6x, fyy=2, fxy=fyx=-3
detH(x,y)=6x*2-(-3)^2=12x-9
(x,y)=(0,0)の時 detH(0,0)=-9<0より 鞍点 
(x,y)=(3/2,9/4)の時 detH(3/2,9/4)=9>0,fxx(3/2,9/4)=9>0より 極小値f(3/2,9/4)=-27/16を取る。

Q2変数関数の極限値の解き方(色々なケース)

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わかる方、ご指導よろしくお願いいたします。

【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。

(1) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(2) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(3) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)は極限値は0をとる。


(4) lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)は極限値は0をとる。


(5) lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。


(6) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = -1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = 1
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。


(7) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(8) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


もし、導き方がおかしいようなら、ご指摘いただければと思います。
以上、ご指導のほどよろしくお願いします。

以下の8問の2変数関数の極限値を求めてる問題を解いてみたのですが
計算結果が正しいか自信がありません。
わかる方、ご指導よろしくお願いいたします。

【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。

(1) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^...続きを読む

Aベストアンサー

訂正
(1)は式に絶対値をつけとかんといかんかった。
|(xy)/√(x^2+y^2)|=|x|/√(x^2+y^2)・|y|/√(x^2+y^2)・√(x^2+y^2)
≦1・1・√(x^2+y^2) →0
(3)と(8)も。
失礼しました。

Q陰関数の第2次導関数の証明方法

陰関数の第2次導関数の証明のやりかたなのですが、
dy/dx=-f(x)/f(y)
ですので、
d^2y/dx^2 は d(dx/dy)/dx = d(-f(x)/f(y))/dx
となり、後は
f(x)/f(y)を微分するだけなのはわかるのですが、
一般的な微分公式にあてはめた場合、
-f(xx)f(y)×f(yx)f(x)/f(y)^2
と成るはずなのですが、
答えは
d^2y/dx^2=-( f(xx)f(y)^2-2f(xy)f(x)f(y)+f(yy)f(x)^2 )/ f(y)^3
となり、途中の計算課程が分かりません。
私は何の認識を誤っているのでしょうか?
詳しく教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

解き方の方針は合っています。
しかし、結論から言うと
  (d/dx)Fx = Fxx
  (d/dx)Fy = Fyx
は成り立たないのです。


多変数関数の合成関数の微分を思い出しましょう。
2変数関数F(x,y)のx,yがそれぞれtの関数であるとき、F(x(t),y(t))をtで微分すると、
  dF/dt = (∂F/∂x)*(dx/dt) + (∂F/∂y)*(dy/dt)
となりますね。
今回、yはxの関数ですから、先ほどのtがxになったと思って、F(x,y(x))をxで微分してみましょう。
  dF/dx = (∂F/∂x)*(dx/dx) + (∂F/∂y)*(dy/dx)
     = Fx*1 + Fy*(dy/dx)
     = Fx + Fy*(dy/dx)
となりますね。

では本題に戻ります。
FxもFyもx,yについての2変数関数で、さらにyはxの関数ですから、Fx,Fyをxで微分しようと思ったら、合成関数の微分法を適用しなければなりません。
すなわち、
  (d/dx)Fx = Fxx + Fxy*(dy/dx)
  (d/dx)Fy = Fyx + Fyy*(dy/dx)
とするのが正しいのです。
この考え方で、 d(-f(x)/f(y))/dxの右辺を根気よく整理していけば正しい式にたどり着くと思いますよ。

解き方の方針は合っています。
しかし、結論から言うと
  (d/dx)Fx = Fxx
  (d/dx)Fy = Fyx
は成り立たないのです。


多変数関数の合成関数の微分を思い出しましょう。
2変数関数F(x,y)のx,yがそれぞれtの関数であるとき、F(x(t),y(t))をtで微分すると、
  dF/dt = (∂F/∂x)*(dx/dt) + (∂F/∂y)*(dy/dt)
となりますね。
今回、yはxの関数ですから、先ほどのtがxになったと思って、F(x,y(x))をxで微分してみましょう。
  dF/dx = (∂F/∂x)*(dx/dx) + (∂F/∂y)*(dy/dx)
     = Fx*1 + Fy*(dy...続きを読む

Q2変数関数の極値の問題について

関数 f(x,y) = x^4 + y^4 - 2x^2 + 4xy - 2y^2 の極値を求めよという問題で,

fx = 4x^3 - 4x + 4y = 0, fy = 4y^3 - 4y + 4x = 0

という関係から極値を得る候補点が(√2, -√2) , (-√2, √2) , (0, 0) が得られるようなのですが, まず前2つの候補点を求める方法が知りたいです.

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

>fx = 4x^3 - 4x + 4y = 0, fy = 4y^3 - 4y + 4x = 0

>という関係から極値を得る候補点が(√2, -√2) , (-√2, √2) , (0, 0) が得られる
>ようなのですが, まず前2つの候補点を求める方法が知りたいです.

連立方程式fx=0, fy=0から導出された連立方程式
x^3 - x + y= 0 …(A)
y^3 - y + x = 0 …(B)
を解けば求まるでしょう。
(A)-(B)より
x^3-y^3-2x+2y=0
(x-y)(x^2+xy+y^2)-2(x-y)=0
(x-y)(x^2+xy+y^2-2)=0
y=x …(C)
または
x^2+xy+y^2-2=0 …(D)

(C)のとき、(A)より x=y=0 …(E)
>まず前2つの候補点を求める方法が知りたいです.
(D)のとき x={-y±√(y^2-4(y^2-2))}/2
     x={-y±√(8-3y^2)}/2
(B)に代入して
 y^3-y+{-y±√(y^2-4(y^2-2))}/2=0
 2y^3-3y±√(8-3y^2)=0
 (2y^3-3y)^2-(8-3y^2)=0
 4y^6-12y^4+12y^2-8=0
 y^6-3y^4+3y^2-2=0
 (y^2-2)(y^4-y^2+1)=0
y^4-y^2+1=(y^2-(1/2))^2+(3/4)>0なので
 y^2=0
 y=±√2 …(F)
(D)に代入
 x(x±√2)=0
x=0, -(±√2)
x=0とすると (A)より y=0となり(F)と矛盾。∴x≠0
∴x=-(±√2) …(G)
(F),(G)は(A)を満たす。

以上から極値を得る候補点(停留点)は、(E),(F),(G)をまとめると
(√2, -√2) , (-√2, √2) , (0, 0)
と得られる。

>fx = 4x^3 - 4x + 4y = 0, fy = 4y^3 - 4y + 4x = 0

>という関係から極値を得る候補点が(√2, -√2) , (-√2, √2) , (0, 0) が得られる
>ようなのですが, まず前2つの候補点を求める方法が知りたいです.

連立方程式fx=0, fy=0から導出された連立方程式
x^3 - x + y= 0 …(A)
y^3 - y + x = 0 …(B)
を解けば求まるでしょう。
(A)-(B)より
x^3-y^3-2x+2y=0
(x-y)(x^2+xy+y^2)-2(x-y)=0
(x-y)(x^2+xy+y^2-2)=0
y=x …(C)
または
x^2+xy+y^2-2=0 …(D)

(C)のとき、(A)より x=y=0 …(E)
>まず前2つの候補点を求める方...続きを読む

Q極値の判定でヘッシアンの値が0になってしまった場合

極値の判定でヘッシアンの値が0になってしまった場合
どのような方法で極値を取るかどうか判定すればいいのか
わからないのですがどのような方法を用いるのでしょうか?

Aベストアンサー

ヘッシアンが 0 ということは、ヘッセ行列が固有値 0 を持つ
ということです。0 以外の固有値は、どうなっているでしょうか?

0 でない固有値が全て正なら、停留値は極小。
全て負なら、停留値は極大。
正と負と両方あるなら、停留点は鞍点で、極値ではない。
固有値が 0 のみなら、三次以下の微小項を見て判定する必要がある。

この辺の事情は、一変数関数の場合とよく似ています。

二階偏微分可能な実多変数関数であっても、偏導関数が連続でないと、
ヘッセ行列が対称行列ではないことがあり、その場合、虚数固有値が
表れる可能性がありますから、話しがややこしいですね。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

QH(a,b) 二変数関数の極値判定について

一変数関数で、ある関数f(x)についての2回微分であるf''(x)について
f''(x)>0かf''(x)<0かをf'(x)=0の点が極大か極小か判定するために見ることはわかります。
要するに、f(x)の傾きであるf'(x)が今後増加するのか、減少するのかを見て判断するわけです。

ニ変数関数においても同様に、fxxfyy-(fxy)^2=H(a,b) が正か負かで極値判定を行うようなのです。
ただ、このH(a,b)の式の意味がよくわからず困っています。
この式は何を意味しているのでしょうか?
どことなくV(x)=E^2(x)-{E(x)}^2 の期待値と分散の関係式を思い出すのですが・・・・

Aベストアンサー

http://faculty.ms.u-tokyo.ac.jp/users/tsuboi/sk1-2008/sk1-2008_01.pdf
の下の方。

Q∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
= 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2
と分解しよう。

∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、
∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、
部分積分する。

∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、
知らなければどうしようもない。
(x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)

Q接平面の式

曲面z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)における接平面の式は
どのように求めればいいのでしょうか?

また、その接平面から距離が√5となる平面の式も
求めたいのです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

参考程度に

「曲面z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)における接平面の式は
どのように求めればいいのでしょうか?」

接平面の方程式がいりますね。
z=f(xy), 点(a,b,c) の時の 接平面の方程式は、
z-c=fx'(a,b)(x-a)+fy'(a,b)(y-b)
ですね。
z=3-x^2-y^2 の点(1,1,1)の場合は、
c=1, {∂f(xy)/∂x}(1,1,1)=-2x=-2
{∂f(xy)/∂y}(1,1,1)=-2y =-2
z-1=-2(x-1)-2(y-1)=-2x-2y+4
z=-2x-2y+5
ということですかね。


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