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東工大2011年の過去問です。

糸の長さが等しくおもりの質量がm1(おもり1),m2(おもり2)の2つの単振子を左右に(おもり1が左、おもり2が右)それぞれ同じ高さだけ持ちあげて放すと2つのおもりが最下点において衝突を繰り返すというもので、
衝突直前の2つのおもりの速度をv、一度目の衝突直後のおもり1,2の速度をそれぞれv1',v2'とし、速度は右向きを正とするときに、

運動量保存則の式が

m1v-m2v=m1v1'+m2v2'

となります。

左辺は分かるのですが、右辺がどうして同符号になるのかが分かりません。
2つのおもりは衝突を繰り返すので右辺は-m1v1'+m2v2'になると思ったのですが、なぜ違うのか教えていただきたいです。

宜しくお願いします。

A 回答 (2件)

>衝突直前の2つのおもりの速度をv、



とありますが,これは「2つのおもりの速さをv」の誤りです。

衝突前
m1の速度 v1 = v > 0
m2の速度 v2 = -v < 0

衝突後はそれぞれの速度をv1',v2'とおいたのですから
v1' < 0
v2' > 0
となってそれぞれ符号が含まれているのです。
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この回答へのお礼

書き間違いすみませんでした。
速さと速度の表し方の違いだったんですね…

よくわかりました!ありがとうございます!

お礼日時:2012/12/09 07:08

左辺が分かるのならば、もう、答えが出ているようなものです。



左辺の実体は、m1v+m2(-v)です。

これは、一回目の衝突が、「速度v」という「大きさ」は、分かっていて、
一方が、逆方向だから、向きまで考えると、その速度は、「-v」になります。

この式を直したものが、左辺の「m1v-m2v」となります。

右辺は、「速度の正負が分からない状態(右に行くか、左に行くか分からない状態」で、
「とりあえず、右向きを正として」、v1'とv2'と置いた方程式です。

だから、v1'とv2'は、計算してみてから、負の値となることもあります。
(立てた式を計算した結果、負の値になったときは、左側に動いているということです)
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この回答へのお礼

とりあえず置いてあるだけなんですね。
分かりやすい説明ありがとうございます!

お礼日時:2012/12/09 07:06

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x0が正か負かで多少途中式が変りますが、ここではx0は正であるとします。

とりあえず静止最大摩擦(つまり静止してから動き出す条件)を考えない事にします。
また質問とは異なりますが、静止するたびにその位置に番号を振り、
最大振幅で静止したときの変位の大きさをx0, x1, x2, x3, ・・・・とします。
(x0,x2,・・・はもっとも伸びたときで座標はx0,x2,・・・・、x1,x3・・・はもっとも縮んだときで座標は-x1, -x3, ・・・・)

縮むときの運動方程式は、動摩擦係数をuとしてm a = -kx + umg.。したがって、ω= √(k/m)として

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初期条件がx(0)=x0, v(0) = 0 からφ=0、a = x0 - umg/k。umg/kは頻繁に出てくるのでこれをdとすると

x(t) = d + (x0 - d) cos ωt

もっとも縮んだときはcos ωt=-1なので-x1 = d + (x0-d)(-1) = -(x0 - 2d) つまり、

x1 = x0 - 2d

この後は伸びるので運動方程式はm a = -kx - umg したがって、x1の時刻をt1として

x(t) = -d + a cos (ω[t-t1]+φ)、 v(t) = - a ωsin (ω[t-t1]+φ)

初期条件がx(t1)=-x1, v(t1) = 0 からφ=0、a = -x1+ d。したがって

x(t) = -d + (-x1 + d) cos ω[t-t1]

もっとも伸びたときはやはりcos ω[t-t1]=-1なので

x2 = -d + (-x1+d)(-1) = x1 - 2d = x0 - 4d、

以下同様にすると

x3 = x2-2d = x0 - 6d
x4 = x3-2d = x0 - 8d
・・・・・
xn = x0 - 2nd

『n回伸縮した後にx=0で静止する条件』というのがやや微妙ですが、これをn回目にx=0で停止すると解釈するとxn=0なので

x0 = 2nd = 2n umg/k

ただし、n-1回目に静止したときに最初に無視した静止最大摩擦の条件を満足する必要があります。
xn=0の場合、xn = x(n-1) -2d = 0からx(n-1)=2dとなるので

k x(n-1) =2 k d = 2umg > μmg

整理すると

u >μ/2

という条件が必要です。

問題文の通り

>(バネが縮み始めてから制止し、次に伸びが最大になるまでの動きを一回の伸縮とする)。

とするなら、nが偶数だけを採用してください。

以上で多分あっているとは思いますが、長いので、どこか間違っていたらご容赦ください。

x0が正か負かで多少途中式が変りますが、ここではx0は正であるとします。

とりあえず静止最大摩擦(つまり静止してから動き出す条件)を考えない事にします。
また質問とは異なりますが、静止するたびにその位置に番号を振り、
最大振幅で静止したときの変位の大きさをx0, x1, x2, x3, ・・・・とします。
(x0,x2,・・・はもっとも伸びたときで座標はx0,x2,・・・・、x1,x3・・・はもっとも縮んだときで座標は-x1, -x3, ・・・・)

縮むときの運動方程式は、動摩擦係数をuとしてm a = -kx + umg.。したがって、ω= √...続きを読む


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