時間があるので大学1年の物理を再度、深く勉強しなおしているのですが、教科書に当たり前のように書いてあることが分からなくて、しかも聞ける人もいないので質問させていただきました。

教科書の 「中心力F(r)=f(r)r/r が保存力か調べる」とあり(最後のr/rとは位置ベクトルrの単位ベクトルのことです)そのすぐ次の行には「F(x)=f(r)x/rとなるので…」と説明が始まってます。なぜF(x)がこのように求まるのでしょうか?教えてください。

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A 回答 (3件)

keyguy さんのご回答の通りと思うのですが,


もう少しわかりやすく書いてみますか.

keyguy さんご指摘のように,ベクトルとスカラーの表記に問題があります.
ベクトル r を 【r】 のように書くことにします.

(1)  【F】(【r】) = f(r)【r】/r
ということですね.
x,y,z 方向の単位ベクトルをそれぞれ 【i】【j】【k】とすれば
(2)  【r】= x【i】+ y【j】+ z【k】
です.
つまり,(1)(2)を合わせてみると,
(3)  【F】(【r】) = f(r)x【i】/r + f(r)y【j】/r + f(r)z【k】/r
になっていて,これは【F】の x 成分が
(4)  f(r)x/r
であることを示しています.
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この回答へのお礼

いまちょうど全く同じ手法で自分なりに理解できたところでした(^^)そうですね、なんかあたりまえというか、そのまんまですね(笑)なんで違和感感じるんだろう?

とにかく解決できました!ありがとうございました。

お礼日時:2004/02/20 00:25

h(x,y,z)をスカラーとすると


h(x,y,z)・(x,y,z)=(h(x,y,z)・x,h(x,y,z)・y,h(x,y,z)・z)
です
h(x,y,z)=f(|r|)/|r|を上式に代入してください
x成分はどうなったでしょうか?
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この回答へのお礼

f(r)【r】/r と 【i】 の内積がFx になりますね。
理解できました。ありがとうございました。

お礼日時:2004/02/20 00:28

表記上の問題があります


想像するに
F(r)はベクトルで
f(|r|)はスカラーで
F(r)=f(|r|)・r/|r|
ということでしょう
そうすると
F(r)のx成分は
f(|r|)・x/|r|
は定義そのものですね?

この回答への補足

えっと…あの、す、すいません(??)
あれ?定義?ですか?なにせ物理は適当に独学した者でして…


F(r)のx成分は
f(|r|)・x/|r|
は定義そのものですね?

からがよく分かりません。すいません(汗)

補足日時:2004/02/19 23:41
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Qma=Fと微分方程式 m・d^2r/dt^2=F

高校の物理で習うma=Fというニュートンの第2法則ですが、
これを微分方程式m・d^2r/dt^2=Fで解くと何がより分かるように
なるのでしょうか?
またこれ以外にも微分方程式で解くことによる利点を教えて
頂けないでしょうか?

よろしくお願いします

Aベストアンサー

 高校物理では等加速度運動に限定するため、ma=Fという式をよく用いますが、ご承知の通り、それは微分方程式m・d^2r/dt^2=Fの特別な場合です。

 m・d^2r/dt^2=Fは、実は物凄い式です。Fも時刻変化するため、m・d^2r/dt^2=F(t)と書いておいた方がいいかもしれません。また、速度vも考えると、m・d2v/dt=Fです。なお、vもrもベクトルです。

 その式が何を意味しているかといえば、「質量mの物体と位置、物体にかかる力の関係式」ということです。つまり、どんな時刻でもいいので物体の位置が分かり、物体にかかる力がどんなものか分かれば、物体の運動を無限の過去から未来永劫に渡って知ることができる、ということです。

 物体にかかる力は、直接の接触、重力、電磁気力しかありません(ただし、ニュートン力学や電磁気学のマクスウェル方程式が最終的な真理と思われていた19世紀末頃の知見)。それらは、質量や電荷が分かればどれだけかは厳密に確定します。つまり、どんなときにどれだけの力を及ぼすかは分かるわけです。

 そうすると、「どんな時刻でもいいので、全宇宙の粒子の種類と位置さえ分かり、無限の計算能力があれば、宇宙全体を無限の過去から永劫の未来に渡って知ることができる」ということになります(そうできる存在を想像して「ラプラスの悪魔」と呼んだりする)。

 そのことを言い換えると、この宇宙で起こることは全て確定している、宇宙のどこでも、いつでも、どんなことが起こるかは、宇宙が誕生したときに全て決まっている、ということになります。

 こうして回答を書いているのも、質問者様が疑問に思って質問されたことも、宇宙誕生のときから決まっていた、ということです。そうなっているという考え方を「決定論」と呼びます。

 微分方程式m・d^2r/dt^2=Fは、そういうことまで言っている式なのです。

 微分方程式による物理学は、電磁気学で威力を発揮しました。電荷の間に電磁気力が働く、という考え方を遠隔作用説と呼びます。微分方程式ではない簡素な式で物理現象を記述できます。それを「電荷の周りに電磁気的な場ができる」と考えるのを近接作用説といい、微分方程式による記述になります。

 遠隔作用説では説明できないことがあったり、電磁波の数学解も出て来ませんでした。近接作用説に則り、微分方程式で記述し直すと、電磁波の数学解が出てきて、実験してみると電磁波が発見されました。重力もニュートンの式は遠隔作用説の記述ですが、アインシュタインが近接作用説で書き直し、重力に対する理解が非常に進んで、今まで説明不能だったことが説明できるようになりました。

 遠隔作用説の微分方程式でない数式は二つ以上の物体を不可分として扱わねばなりません。数式は簡素でも、物理学的には複雑なことを表しています。一方、近接作用説で考えて出てくるのは微分方程式という見た目は複雑な数式ですが、数式が表しているのは一つの物体についてであり、内容的には簡素です。近接作用説は物理現象を、遠隔作用説より細かく分解して記述しているといえます。

 物理学では、物理現象を調べるときに、できるだけ細かい要素に分けて、一つ一つの要素を調べます。一つ一つが分かったら、元の形に組み直していき、ようやく「分かった」となります。細かく分解できるほど、正確に、精密になるというのが、経験的な事実です。微分方程式による記述は、もっと正確に、より精密にということの顕れです。当然、物理学として進歩します。

P.S.

 決定論は間違っていることが既に判明しています。量子力学の成果です。量子力学は「物理現象の根本は不確定で確率的である」としています。何事も100%の精度で知ることはできず、サイコロの目の出方次第で変わってしまうのですから、たとえ宇宙全体を観測できて、無限の計算能力を持っていても、ラプラスの悪魔にはなれないわけです。

 高校物理では等加速度運動に限定するため、ma=Fという式をよく用いますが、ご承知の通り、それは微分方程式m・d^2r/dt^2=Fの特別な場合です。

 m・d^2r/dt^2=Fは、実は物凄い式です。Fも時刻変化するため、m・d^2r/dt^2=F(t)と書いておいた方がいいかもしれません。また、速度vも考えると、m・d2v/dt=Fです。なお、vもrもベクトルです。

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Q並列回路の合成抵抗の公式が1/R=1/R1+1/R2になる理由を教えてください

学校のレポートでこのような課題が出て調べてみたら公式はどこにでも載っていました。しかし、その理由(理論)がかいてあるところはどこもありませんでした。どうか助けて下さい。お願いします。

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たぶん
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だったら計算はできるかと。

QF→=kr^n・r→/r の万有引力

質量mの粒子Aが一ベクトルr→で表される位置にある時

F→=kr^n・r→/r

の力が働いているとき、力学的エネルギー保存を示せという問題と万有引力を考える問題がありました。

力学的エネルギー保存則を示すには

m・d^2r→/dt^2 ・ dr→/dt = F→ ・ dr→/dt
を変形して

d/dt ( 1/2 m (dr→/dt)^2) = F→ ・dr→/dt
としてt1→t2まで定積分して

1/2mv_2^2 - 1/n+1 kr_2^n+1 = 1/2mv_1^2 - 1/n+1 kr_1^n+1
となることは自力で順序に従って回答でき答えもあっていましたが

その次の
では実際にこのF→の例として万有引力を考え、質量Mの天体があり万有引力定数をGとすると k = (1) 、 n=(2) になる

という問題でk=-GMm n=-2となると解答に書いてありましたがどうしてその式が導出されるのかがまったくもってわかりません。

万有引力はGMm/R^2で表されることは知っています。
どうやって上記の(1)(2)の回答がそれぞれ k=-GMm n=-2となるのか丁寧に解説をお願い申し上げます。

質量mの粒子Aが一ベクトルr→で表される位置にある時

F→=kr^n・r→/r

の力が働いているとき、力学的エネルギー保存を示せという問題と万有引力を考える問題がありました。

力学的エネルギー保存則を示すには

m・d^2r→/dt^2 ・ dr→/dt = F→ ・ dr→/dt
を変形して

d/dt ( 1/2 m (dr→/dt)^2) = F→ ・dr→/dt
としてt1→t2まで定積分して

1/2mv_2^2 - 1/n+1 kr_2^n+1 = 1/2mv_1^2 - 1/n+1 kr_1^n+1
となることは自力で順序に従って回答でき答えもあっていましたが

その次の
では実際にこのF→の例として万有引力...続きを読む

Aベストアンサー

そうむずかしい話ではなくて

>万有引力はGMm/R^2で表されることは知っています。

が万有引力の大きさで,力のベクトルにすれば,引力なので符号はマイナス,動径方向の単位ベクトルがr→/rなので,ベクトルであらわした万有引力は

F↑(万有引力) = (- G Mm/r^2)(r→/r)

これを一般式

F→=(kr^n)(r→/r)

と見比べてkとnを決めるだけです.

他には電磁気のクーロン力もこの一般式の形になっていて,

k = Qq/4πε
n = -2

です.

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となっておりますがこれは2式÷3式より、なぜ「X/R=2/3」になるのでしょうか。
またこの計算は何をしている(求めている計算)なのでしょうか。

Aベストアンサー

2式÷3式は、つまり、
RX^2/(R^2 + X^2) ÷ R^2X/(R^2 + X^2)=2÷3 のことで、
∴RX^2/(R^2 + X^2) × (R^2 + X^2)/R^2x =2/3 これを正直に計算すると
X/R=2/3
が出てきます(^^)
「またこの計算は何をしている(求めている計算)なのでしょうか」ですが、
②式と③式を満たすXとRの関係を求めるためになされている計算です
・・・質問の意味からずれましたかね(・・?)

参考になれば幸いです(^^v)


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