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内分点と外分点を図示する問題です。

数直線上で、ABの長さは6です。
問題では、ABを2:1に内分する点Pを図示します。AB=6なので、AP:PB=4:2になるように点Pを図示しました。
図示したものを見ると、点PがABを2:1に内分していることは分かるのですが、図示しようとすると、どのように考えればよいのか、イマイチ納得できません。
4+2=6だから…??

さらに、次の問題では外分です。ABを2:1に外分する点Qを図示しなければならないのですが、とりあえずABの外側に点を取り、2:1に外分する点を探していってAQ:QB=9:3になる点を見つけました。
外分って、今の問題だったら、AQ:QB=3:1になってしまうんですね。さらによくわかりません…

簡単に内分点・外分点を見つける方法はないのでしょうか??
あと、内分と外分って全く別物なんですか??
比で表したら内分はAP:PB=2:1=4:2で考えられるけど、
外分はそうはいきません。
内分と外分は一緒の時間に習ったのですが、全く共通性みたいなものが見えてきません。

回答よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

AB=6で、


例1)AB:BC=2:1に内分する点Pを図示するの場合
内分は線分ABの内部(数直線でいうと点Aと点Bの間)に点を取ることですから、
AB:BC=2:1に内分の場合は、線分ABの大きさ6を2:1に分ける点と考えます。

長さ6を2:1に分けたとき、
2の分は6×2/3=4
1の分は6×1/3=2となりますから、

点PはAP:PB=4:2に分けるように取ります。

次に外分の場合
例2)線分ABを2:1に外分する点Qを図示する場合
外分は線分ABの外側(線分ABの延長線上)に点を取ることです。ここで外への出方が2通りあります。Aから左へでるか右へでるか。これは比をみればわかります。線分ABを2:1に外分といわれたら、点Aから点Bを越えて外に点を取り(そこが点Q)、その点Qから点Bに戻ります。そのとき比がAQ:QB=2:1になるように取りなさいということです。
簡単な図を書くと、AQ:QB=2:1のとき、AB:BQ=1:1であることがわかります。今ABの大きさ(長さ)は6なので、BQ=6、AQ:QB=2:1よりAQ=6×2=12となります。このような点Qを取ればよいことがわかります。

質問文に書かれているようなAQ:QB=3:1にはなりません。外分でもAQ:QB=2:1となります。

内分も外分も同じです。内部に点を取るか、外に取るかの違いだけで、○を内分または外分点とすると比A○:○Bはどちらも上のように同じです。

ここからは余談ですけど、
数直線上で点Aの座標がa、点Bの座標がb(a<bとします)という風に座標がわかっている場合には、
線分ABの長さはAB=b-aと表せます。
線分ABをm:nに内分する点Pの座標を求めたいとき、
上と同じように考えると座標で求めることができます。

大きさb-aをm:nに分けるまず考えると、
mに対応する大きさは(b-a)*m/(m+n)
nに対応する大きさは(b-a)*n/(m+n)

今点Aの座標がaだから点Pの座標はa+(mに対応する大きさ)=a+(b-a)*m/(m+n)=(an+mb)/(m+n)という有名な内分の公式を求めることができます。これは内分の公式としてたぶんどこかで習うと思います。外分も同じように考えると似たような式が出てきます。


ご参考までに。
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