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∫u²e^{-u²}du (0<u<∞)の解き方を教えて下さい。

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A 回答 (4件)

∫(0→∞) u²e^{-u²}du            ← 部分積分


=[-(u/2)e^(-u^2)](0→∞)+(1/2)∫(0→∞) e^(-t^2) dt ← 参考URL参照
=lim(u→∞)-(u/2)e^(-u^2) -0 +(√π)/2
=(√π)/2

参考URL:http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
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ANo.2 にかいた解法は, あくまで,


∫[0 → ∞] e^(-u^2) du = (√π)/2
であることを知っている場合のみ, 許される方法です.
これを既知と認めず, 値を求めるというなら, かき方を変える必要があります. まず,
I = ∫[0 → ∞] e^(-u^2) du
と置くのは, かく分量を減らすメリットがあるので, 減点対象にはならないでしょうが, この広義積分が収束するかどうか不明な時点で,
I^2 = ~
とかいて時点で, 数学科であれば, 教員は続きを読んでくれない可能性すらあります.
有限確定値をもつ保証がないのに, それを2乗することは, 意味をもたないからです.
I > 0 とかくだけでも, かなり危険です.

I = ∫[0 → ∞] e^(-u^2) du を, 二重積分を用いてきちんと求めようとするなら, まず,
(∫[0 → a] e^(-u^2) du)^2 (a > 0) を考えることから, 始める必要があります. つまり,
f(x, y) = e^(-(x^2 + y^2)),
K_a = { (x, y) | 0 ≦ x ≦ a, 0 ≦ y ≦ a },
と置き, 二重積分
I(a) = ∫∫_K_a f(x, y) dxdy = (∫[0 → a] e^(-u^2) du)^2
を考えます.
もちろん, ∫[0 → a] e^(-u^2) du > 0 が成り立ちます.
積分範囲として, さらに,
S_a = { (x, y) | x^2 + y^2 ≦ a^2, x ≧ 0, y ≧ 0 },
S_(√2)a = { (x, y) | x^2 + y^2 ≦ 2a^2, x ≧ 0, y ≧ 0 },
と置き, 極座標変換して,
J(a) = ∫∫_S_a f(x, y) dxdy
= ∫[0 → π/2](∫[0 → a] re^(-r^2) dr) dθ
= π(1 - e^(-a^2))/4
が得られます.
また, f(x, y) > 0 で, S_a ⊂ K_a ⊂ S_(√2)a なので(strict inclusion),
J(a) < I(a) < J((√2)a) が成り立ちます.
ここで, a → ∞ とすると,
J(a) → π/4, J((√2)a) → π/4 となりますから,
lim [a → ∞] I(a) = π/4 が得られます.
以上のことより,
∫[0 → ∞] e^(-u^2) du = √(π/4) = (√π)/2
であることが, 示されました.
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部分積分より



∫_0^∞u^2e^{-u^2}du

=∫_0^∞u(-e^{-u^2}/2)'du

=[u(-e^{-u^2}/2)]_0^∞-∫_0^∞(-e^{-u^2}/2)du

ここでe^{-u^2}は急激に0に減少するので第1項は0.第2項

-∫_0^∞(-e^{-u^2}/2)du=(1/2)∫_0^∞e^{-u^2}du

についてI=∫_0^∞e^{-u^2}du>0とおくと

I^2=∫_0^∞e^{-x^2}dx∫_0^∞e^{-y^2}dy

=∫_0^∞∫_0^∞e^{-(x^2+y^2)}dxdy

極座標へ変数変換して

I^2=∫_0^∞∫_0^{π/2}e^{-r^2}rdrdθ

=(π/2)∫_0^∞e^{-r^2}rdr

=(π/2)[-e^{-r^2}/2}]_0^∞

=(π/2)(1/2)=π/4

∴I=√(π/4)=(1/2)√π

よってもとめる広義積分は

(1/2)I=√π/4
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まず, 部分積分によって,


∫[0 → ∞] e^(-u^2) du = 2∫[0 → ∞] (u^2)e^(-u^2) du ・・・ (1)
が得られます.
また,
∫[0 → ∞] e^(-u^2) du = (√π)/2 ・・・ (2)
であることは, 非常に有名なので, ご存知だと思います.
(1) と (2) を比較することにより,
2∫[0 → ∞] (u^2)e^(-u^2) du = (√π)/2
であることがわかるので, 結局,
∫[0 → ∞] (u^2)e^(-u^2) du = (√π)/4
となります.

一般には, 自然数 n に対して,
∫[0 → ∞] (u^(2n))e^(-u^2) du = (√π)(2n - 1)!!/2^(n + 1)
が成り立ちます.
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