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次の条件を満たす数列{an}の例を1つあげよ

各項が互いに異なり{an}は収束しないがliman^2=1 (n→∞)

各項が異なりって・・どういういみですか?

教えて!goo グレード

A 回答 (4件)

>各項が互いに異なり{an}は収束しないが


この意味は
{an}={1,1,1,1, ... }
lim(n→∞)an^2=1 で収束するが、各項がすべて同じで{an}も収束します。
また
{an}={-1,1,-1,1, ... }
はlim(n→∞)an^2=1 で収束するが、各項が1つ置きにすべて同じで{an}は収束しません。
このような{an}を除いて考えよ。
ということです。
つまり全てのanが異なり、[an]も収束しないが、{an^2}は収束する数列を求めよということです。
{an^2}が収束し[an]が収束しない、かつ全てのanが異なる条件を満たす数列は、プラスとマイナスに振動しながら、収束値に収束していく数列であれば良いということです。

A#1とは異なる例を上げれば

{an}={((-1)^n)*(2^n +3)/2^n}={-5/2,7/4,-11/8,19/16, ... } ←全ての項が互いに異なる
lim(n→∞)an=lim(n→∞)((-1)^n)(1-(3/2^n))=lim(n→∞)((-1)^n)
これはn→∞で -1と1を交互に繰り返すだけで1つの値に収束しません(振動を繰り返すだけ)ので極限値は存在しない(収束しない)ことになります。
しかし{an^2}は
lim(n→∞)an^2=lim(n→∞)((-1)^(2n))(1-(3/2^n))^2=lim(n→∞)(1-(3/2^n))^2= 1
となって1に収束するので条件を満たします。
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No.2 です。

ごめんなさい、ミスりました…。「{an}は収束しない」を抜かしてしまったので、No.1さん同様、-1 をくっ付けといてください。

an = {(-1)^n}・{2^(-n) + 1}^(1/2)
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>各項が異なりって・・どういういみですか?



各項が互いに異なっているというのは、a1 でも a3 でも a100 でも、どの 2 項を選び取っても、等しくないってことです。一般項の n に具体的な数字を入れて比較してみれば、分かりますね。


例というのは無数にあるでしょうけど、記念に 1 つ。グラフを書けますか?

an = {2^(-n) + 1}^(1/2)
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a_n = (-1)^n * {n/(n + 1)} は 一例です

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