上極限・下極限

上極限・下極限の定理

上・下極限の定理の導出方法なのですが、分からず困ってます。


lim[n→∞]a_n=α>0 かつ limsup[n→∞]b_n=β (bは実数) ならば、
limsup[n→∞](a_n・b_n)=αβ と limsup[n→∞](a_n+b_n)=α+β 　を示せ。

出来るだけ詳しく教えて下さい。

なお、導出の際に lim[n→∞]a_n=α とlimsup[n→∞]a_n=liminf[n→∞]a_n=α
が同値であることは既知とします。

No.2 回答者： misumiss 回答日時： 2013/01/04 05:01

回答しやすいように, 自分がどの程度まで理解できているか, そして, どこで行き詰まって質問しているのかを, 詳しく説明するよう心掛けてください.

上極限や下極限の定義, 上限や下限の意味が理解できているなら,
lim sup (a_n + b_n) = α + β
が成り立つことは, 容易に証明できるはずです.
lim sup (a_n・b_n) = αβ
が成り立つことの証明も, β の値の範囲による場合分けを面倒くさがらずに行えば, 特に難しいところはありません.
"n が十分大きいとき p_n ≦ q_n ≦ r_n が成り立ち, かつ, p_n と r_n が同じ値に収束するならば, q_n もその値に収束する," という, お馴染みのパターンです.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/01/04 02:58

なにがどうわからなくて困っている?