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電子密度がn(r)=(πa0^3)^(-1)exp(-2r/a0)のとき、構造因子は

∮4πr^2n(r)exp(-iGr)dr

で正しいですか?また正しい場合、計算のヒントをおしえていただけると助かります。

A 回答 (1件)

正しくないです.


以下,ベクトルと大きさを区別する必要があるのでベクトルは↑で指定します.矢印のついていないものは大きさです.

方位角がG↑・r↑の内積に入っているのでこの分の積分が必要です.
ここでのr↑は考えている原子の原子核の位置を原点とする位置ベクトルで,r↑とG↑のなす角をθとすれば

G↑・r↑ = G r cosθ

したがって,密度分布関数を球対称と仮定して原子散乱因子を極座標で積分すれば

f = ∫n(r) e^{-i G r cosθ} r^2 sinθ drdθdφ

以下,θ,φについて積分を実行すると

f = ∫ n(r) r^2 [ sin Gr / Gr ]
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます.キッテルのP.48にのっていましたね.よくわかりました.ありがとうございました.

お礼日時:2013/01/06 22:45

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Q原子形状因子(キッテル固体物理学)

キッテルの固体物理学の逆格子のところを読んでおります。

形状因子(原子散乱因子)
r:ベクトル G:逆格子ベクトル
f_j=∫dVn_j(r)exp(-iG・r)
積分は1個の原子に属する電子密度全体にわたって行う。
G・r=Grcosα
α:Gとrのなす角
d(cosα)について-1と1の間で積分
f_j=2π∫drr^2d(cosα)n_j(r)exp(-iGrcosα)
のところで、微小体積要素が2πdrr^2d(cosα)となることを導くには、どのような図を描いたらいいのでしょうか?

ちょうど2章の49式の下のほうなのですが、cosαで積分するという見慣れない式なので・・・。

Aベストアンサー

d(cosα)

を実際に計算してみればわかるのではないでしょうか?
よく見る形になるはずです。

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

Qキッテル固体物理学入門について

キッテル固体物理学入門の上巻の2章の演習問題の6番の詳しい解答を
知りたいのですが誰か教えてくれませんか?
お願い致します。

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キッテルの演習問題の解答が載っている本がありますのでそちらを参考にしてみてはどうでしょう?
固体物理学演習~キッテルの理解を深めるために~
沼居貴陽著 丸善

Qダイヤモンドの構造因子

ダイヤモンドの構造因子を求めると
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となったのですが、この構造因子が0になる指数がうまく求められません。どのように考えればよいでしょうか。

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面心立方の原子位置は

(0,0,0) (1/2,1/2,0) (1/2,0,1/2) (0, 1/2, 1/2)

これをベクトルでri (i=1-4)と書くことにします.

ダイアモンド格子はこの座標に(1/4,1/4,1/4)を加えた位置に同種原子を置くことで構成されます.そこで(1/4,1/4,1/4)をベクトルdと書くことにすると,追加した原子の位置ベクトルはd+ri (i=1-4).したがって,逆格子ベクトルをGとして構造因子は

S = f Σ[i=1-4] { e^{-2πi G・ri} + e^{-2πi G・(d+ri)}
= f (1 + e^{-2πi G・d} ) (Σ[i=1-4] e^{-2πi G・ri})
= (1 + e^{-2πi・(h+k+l)/4}) S(FCC)

従って消滅則はFCCの消滅則に加えて前の()が0になる条件として

2π(h+k+l)/4 = (2n+1)π 従って h+k+l = 4n+2

が追加になります.

Q面心立方と体心立方の逆格子

固体物理の勉強をしています。
体心立方構造の(hkl)面の逆格子点 g*=ha* + kb* + lc*を逆空間で描くと面心立方構造になるらしいのですが、理由がわかりません。
分かる方いましたら、教えてください。お願いします。

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単純な計算だけで分かります。
体心立方格子のユニットベクトルは
a1=(-a/2,a/2,a/2), a2=(a/2,-a/2,a/2), a3=(a/2,a/2,-a/2)
です。aは格子定数です。
逆格子ベクトルは b1=2π(a2x a3)/(a1(a2xa3)) などですから、単純に計算すれば
b1=2π/a(0,1,1) , b2=2π/a(1,0,1), b3=2π/a(1,1,0)
となり、これは面心立方格子のユニットベクトルです。

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Q2次元自由電子の状態密度関数

Z(E);状態密度関数とすると、3次元自由電子の場合、
Z(E)dE=(2m)^(3/2)×E^(1/2)÷(2×π×π×a×a×a) ただしa=h/(2π)
となりますが、2次元自由電子の状態密度関数はどうなるのでしょうか?

Aベストアンサー

> No.2 補足の2行目より
> 面積V(=L^2)においてエネルギーEとE+dEをもつ状態の数は 2×πkdk/vk=k(L^2)dk/2π
> ↑この2がスピン数ではないのでしょうか?

フォントやブラウザー設定によって↑の位置が違って表示されるのですが,
頭の2のことのようですね.
これはスピンから来る2ではありません.

今,2次元ですから,波数が k から k+dk の間の面積は 2πk dk です.
長さ 2πk (つまり円周の長さ)で,幅 dk の面積と考えればOKです.
外側をとれば 2π(k+dk) じゃないかって?
そりゃそうですが,幅の dk を掛けるのですから,
dk の1次までの精度では 2πk でも 2π(k+dk) でも同じことです.

3次元の場合は,球の表面積 4πk^2 に「球殻の厚さ」dk を掛けて
4πk^2 dk ですね.

どうしても納得が行かなければ,円環の面積
π(k+dk)^2 - πk^2 = 2πk dk + (dk)^2
を直接求めてみてもよいでしょう.
ただし,これは円の面積がよく知られているからできるのであって,
いつの場合でもこのようにできるわけではありません.
私としては,前の方の考え方に慣れるようにおすすめします.

というわけで,No.2 の補足の secret-goo さんの計算は1スピンあたりになっています.

> 別に回答に文句を言っているわけではなく、
> 単に私が勉強不足なものでよく分かっていないのです。
> ご気分を損ねましたら本当にスイマセン。

たぶん,どの回答者にとっても回答が読まれて役に立つのは最大の喜びだと思います.
secret-goo さんは回答を読まれて,
さらに自分で考えておられることがよく伝わってきます.
気分を損ねるどころか,「あ,ちゃんと読んでくれたな」というのが私の感想です.

> No.2 補足の2行目より
> 面積V(=L^2)においてエネルギーEとE+dEをもつ状態の数は 2×πkdk/vk=k(L^2)dk/2π
> ↑この2がスピン数ではないのでしょうか?

フォントやブラウザー設定によって↑の位置が違って表示されるのですが,
頭の2のことのようですね.
これはスピンから来る2ではありません.

今,2次元ですから,波数が k から k+dk の間の面積は 2πk dk です.
長さ 2πk (つまり円周の長さ)で,幅 dk の面積と考えればOKです.
外側をとれば 2π(k+dk) じゃないかって?
そりゃそうですが...続きを読む

Qexp(f(x))の積分方法

もう一つ教えてください。
exp(f(x))の積分方法はどうやって計算するのでしょうか。
先ほど教えていただいた
http://www-antenna.ee.titech.ac.jp/~hira/hobby/symbolic/derive.html
にも載っていませんでした。

私が持っている微分積分の公式集ではexp(ax)=(1/a)e^axということしか載っていませんでした。
解る方お願いします。

Aベストアンサー

微分ができるのは、微分の結果を表す関数が定義された関数(初等関数と呼ばれている)だけで表現できるからです。
所が積分結果を表す関数が初等関数の中になければ積分結果を関数で表すことができません。つまり公式集に全ての初等関数の組み合わせで作られた関数の積分結果を表す関数が初等関数の組み合わせで書き表せないケースが多く存在します。つまり積分公式集に書けない関数が存在します。
e^(x^2), sin(k*cos(2x))などは積分結果を式で表現できません。
しかし関数が存在するわけですから数値積分や積分範囲が決められた定積分などは可能です。積分結果は数値として出てきます。
積分結果が初等関数で表せない場合の積分は、数値積分の他に、特殊関数(多くは積分形式で定義されていることが多い)で表す場合があります。

微分公式集は左の列に「微分される関数」、右の列に「微分結果」を書いてあります。
(不定)積分は微分の逆ですから、微分公式集の左の列と右の列を入れ替えて、左の列に「被積分関数」、右の列に「積分結果」と書けば済みます。
そうは言っても、使い安い微分公式集や積分公式集になるわけではありません。
左側の列には通常積分または微分したい関数の形で並べてないと使いやすい公式集といえません。
微分公式集の場合
e^f(x)→f'(x)e^f(x)
積分公式集の場合
f'(x)e^f(x)→e^f(x)
と形式上はなりますが
積分公式集の場合
xe^{(x^2)/2}→e^{(x^2)/2}
e^{(x^2)/2}→ nan
cos(x)e^sin(x)→e^sin(x)
(1/x)e^log(x)→e^log(x)
などを一覧に書き出しておけば使い物になります。

使いやすい積分公式集を作ってください。

微分ができるのは、微分の結果を表す関数が定義された関数(初等関数と呼ばれている)だけで表現できるからです。
所が積分結果を表す関数が初等関数の中になければ積分結果を関数で表すことができません。つまり公式集に全ての初等関数の組み合わせで作られた関数の積分結果を表す関数が初等関数の組み合わせで書き表せないケースが多く存在します。つまり積分公式集に書けない関数が存在します。
e^(x^2), sin(k*cos(2x))などは積分結果を式で表現できません。
しかし関数が存在するわけですから数値積分や積...続きを読む

Qエネルギー準位の縮退に関して

現在、半導体物性を勉強中の初心者です。

この中で、「縮退」という言葉の定義がいまいち理解できずに苦しんでいます。
縮退が解ける、6重縮退している、などは、どのような現象だと理解すればいいのでしょうか?

勉強不足であいまいになり申し訳ないですがご回答いただけますでしょうか?

Aベストアンサー

複数のエネルギー準位が一つの準位に縮退すると言った言い方をしますが、半導体であれば隣り合う原子との最外殻電子の準位が縮退すると言ったものになります。

もともと、別々の準位だったものが、原子を近づけて行った時に最外殻電子同士の軌道が重なり合います。そのとき、原子Aの電子と原子Bの電子が原子間を行き来できるようになり、電子の区別ができません。
この時、電子Aと電子Bのエネルギー準位が同じレベルで、原子の束縛の垣根を超えて自由に移動できるようになります。この時のエネルギー準位は、個々の原子によるエネルギーの準位では無く、ある一つの重なり合ったエネルギー準位(一つのエネルギー準位のようになる)に電子が存在するようになります。
つまり、半導体では電子が存在できる順位が別れていると、遷移する際に吸光や発光などのエネルギーの授受が必要になります。しかし、縮退した順位であれば複数の電子が同じエネルギー準位です。ですので、自由電子と言われるのは、原子の数だけ縮退した準位に電子が原子の数だけあると言うイメージです。

Qホール効果測定について

現在、私は化合物薄膜のホール効果測定を行っているのですが、どうしてもうまく
測定できません。薄膜試料でホール効果測定を行う際(室温で)、注意すべき点等が
ございましたら、ご教授ください。

P.S.
私が行っている方法は一辺が1cm×1cmの正方形試料(膜厚が数百nm)の各頂点に
4つの端子を接触させ、磁場を試料の面直方向に印加した状態で、片方の対角線端子
間に一定電流を、他方の対角線端子間で電圧を測定するという方法です。

Aベストアンサー

昔々,ヘリウム温度で金属薄膜のホール効果の測定をしたことがあります.
中心になっていたのは私の後輩だったし,
こういう話からは長いこと離れてしまったので,そのつもりでご覧下さい.

> 磁場を印加する前後で電圧にほとんど差が生じない

がちょっと気になります.
磁場がゼロでも,ホール端子で測定される電圧はゼロにならない
ということですか.
もし,そうなら電流方向の電圧がホール端子の電圧に混在してしまって
いるのでなないですか.
よく,棒状資料の図でホール効果の説明がありますが,
ホール端子の位置が電流と正確に直角方向になっていなければ,
見かけのホール電圧は,真のホール電圧と抵抗の電圧降下の分との
和になりますね.
もともとホール電圧は小さいですから,紛れ込んだ抵抗電圧の分が大きいと
マスクされてしまってうまく観測できないことがあります.
電流の方向を反転してみると,チェックになります.

熱起電力(ゼーベック効果)や熱磁気効果(ネルンスト効果)が
じゃますることもあります.

それから,資料の形は正方形がいいんでしたっけ?
電流端子と電圧端子を交換して測定して,
何かじゃまな効果をうち消せるメリットがあったような気がしますが,
デメリットもあったような記憶があります.
(なんせ,昔のことなので(^^;)).
他に,長細い形にして,櫛の歯のように左右にホール電圧端子を
突き出させるタイプもありますね.
私が使ったのはこのタイプでした.

あとは,直流法か交流法か,もありますね.
電流,磁場の交直で4通りありますね.
私が使ったのは両方交流で
(もちろん両者は周波数を違え,単純比にならないようにする),
ホール電圧の周波数成分(三角関数の積→和)をロックインアンプで
検出する方法を使いました.

丸善の実験物理学講座あたりに何かヒントがないでしょうか?
(今手元にないので無責任ですが).
他にもどこか実験物理学講座の類を出していたような気がします.
あるいは,電気測定技術の専門書とか.

この種の測定は,それなりの腕を持った人たちがかなり苦労して
いろいろな方式の得失などの知識を積み重ねてきています.
ですから,専門の技術書を参照してから自分のシステムに応用して
みるより仕方がないと思います.
既にエキスパートの域に達した人も
最初のうちはそういう参照をしながら腕をあげたのでしょうね.

昔々,ヘリウム温度で金属薄膜のホール効果の測定をしたことがあります.
中心になっていたのは私の後輩だったし,
こういう話からは長いこと離れてしまったので,そのつもりでご覧下さい.

> 磁場を印加する前後で電圧にほとんど差が生じない

がちょっと気になります.
磁場がゼロでも,ホール端子で測定される電圧はゼロにならない
ということですか.
もし,そうなら電流方向の電圧がホール端子の電圧に混在してしまって
いるのでなないですか.
よく,棒状資料の図でホール効果の説明があります...続きを読む


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