『ボヘミアン・ラプソディ』はなぜ人々を魅了したのか >>

U(r)=kr^2/2のポテンシャルの時、エネルギーEによらずΔθ=π/2となる理由を教えてください。

Δθ=∫_[r_min~r_max] M/(mr^2√((2/m)(E-Ueff(r))) dr
で与えられます。

M:角運動量、Ueff(r)=U(r)+M^2/(2mr^2)

「大学院生のための基礎物理学」という本の序盤に出てきたんですが、よくわかりませんでした。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

物理学 基礎」に関するQ&A: 物理学基礎の問題

A 回答 (1件)

まず



☆⊿φ=±∫[M/(mr^2√{(2/m)(E-Ueff(r))}]dr

⊿φ=±∫[M/(mr^2√{(2/m)(E-kr^2/2-M^2/(2mr^2)}]dr

=±M/√(2m)∫[1/r^2√{E-kr^2/2-M^2/(2mr^2)}dr

ここで1/r^2=uとおきu_1=1/r_{max}^2,u_2=1/r_{min}^2とおくと,-2dr/r^3=du,dr=-du/(2u√u)

⊿φ=∓(1/2)M/√(2m)∫[u/√{E-k/(2u)-M^2u/(2m)}du/(u√u)

=∓(1/2)M/√m)∫du/√{2uE-k-M^2u^2/m}

ここで

2uE-k-M^2u^2/m=0(D/4=E^2+kM^2/m>0)

の2解をu_1,u_2(0<u_1<u_2)とすると,

⊿φ=∓(1/2)M/√m)∫du/(M/√m)√{(u-u_1)(u_2-u)}

=∓(1/2)∫du/√{(u-u_1)(u_2-u)}

u=u_1+(u_2-u_1)sin^2θとおくと

u-u_1=(u_2-u_1)sin^2θ

u_2-u=u_2-u_1-(u_2-u_1)sin^2θ=(u_2-u_1)cos^2θ

∴∫du/√{(u-u_1)(u_2-u)}=∫(u_2-u_1)2sinθcosθdθ/√{(u_2-u_1)^2sin^2θcos^2θ}

=∫(u_2-u_1)2sinθcosθdθ/{(u_2-u_1)sinθcosθ}=2∫dθ=∓2⊿θ

向きを調整すれば

∴⊿φ=(1/2)2⊿θ=⊿θ

よって,r_{max}=a,r_{min}=bとおくと,u_1=1/a^2,u_2=1/b^2であるから,

1/r^2=1/a^2+(1/b^2-1/a^2)sin^2φ=(1-sin^2φ)/a^2+sin^2φ/b^2

1/r^2=cos^2φ/a^2+sin^2φ/b^2

1=(rcosφ)^2/a^2+(rsinφ)^2/b^2

これをxy座標系でかくと

x^2/a^2+y^2/b^2=1

これは長軸2a,単軸2bの楕円です.したがって(0,b)(r=r_{min}から(a,0)(r=r_{max})まで軌道を運動する場合☆は

∫[r_{min},r_{max}][M/(mr^2√{(2/m)(E-Ueff(r))}]dr=⊿φ=π/2

となります.
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

なるほど。何年か不勉強になった間に幾つかの計算テクニックを忘れてました。

お礼日時:2013/01/06 21:57

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!


人気Q&Aランキング

価格.com 格安SIM 料金比較