痔になりやすい生活習慣とは?

∫sinx/xdx は求められないけど、級数で表せるそうなのですが、どのように表せますか。
もうひとつ、定積分∫(0->∞)sinx/xdx の求め方を、数学の得意な方は教えてください。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (2件)

どこがどう「飛躍」しているんでしょうか?

    • good
    • 0

正弦積分関数Si(x)=∫[0→x]sin(x)/x dx


参考URL;ttp://keisan.casio.com/has10/SpecExec.cgi?id=system/2006/1180573427

不定積分
参考URL:ttp://calculus.subwiki.org/wiki/Sine_integral
ttp://yosshy.sansu.org/maclaurin.htm
より
sin(x)のマクローリン展開は
sin(x)=Σ[n=0,∞]((-1)^n) x^(2n+1)/(2n+1)!
sin(x)/x=Σ[n=0,∞]((-1)^n) x^(2n)/(2n+1)!
∫sin(x)/xdx=Σ[n=0,∞]((-1)^n) x^(2n+1)/((2n+1)(2n+1)!) +C

定積分
参考URL:ttp://press.princeton.edu/books/maor/chapter_10.pdf
の(3)式
∫[0→∞] sin(x)/xdx=π/2

この回答への補足

sin(x)のマクローリン展開が、sin(x)=Σ[n=0,∞]((-1)^n) x^(2n+1)/(2n+1)! となるのは解るので、sin(x)/x=Σ[n=0,∞]((-1)^n) x^(2n)/(2n+1)! まで解ります。
そこから何故、∫sin(x)/xdx=Σ[n=0,∞]((-1)^n) x^(2n+1)/((2n+1)(2n+1)!) +Cまで飛躍するのですか。定積分は後回しでいいので、まずこれを解決したいです。

補足日時:2013/01/09 23:21
    • good
    • 0
この回答へのお礼

結果的に↓と同じ質問になり、ここは閉じます。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7876358.html
↑で返事もらうのが原則でも満足いかないことも考えられるので、そのときは参加してください。

お礼日時:2013/01/10 05:56

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qsinx/x の積分

sinx/x の積分について質問です。

積分範囲-∞~+∞だと求めることができますが、
積分範囲a(定数)~+∞の場合、求めることは可能でしょうか?

教えてください。よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

a=0の場合は
積分範囲-∞~+∞の積分の1/2になります。
aがゼロ以外の定数では
初等関数の範囲では積分できません(高校の数学の範囲では)。
収束しますので数値積分は可能です。

特殊関数Si(x)(参考URL参照)を使えば積分結果を表現でき、積分値も存在します。
積分値=(π/2)-Si(a)

参考URL
http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi?path=08000000.%93%C1%8E%EA%8A%D6%90%94%2F07000500.%90%CF%95%AA%8A%D6%90%94%2F10000900.%8EO%8Ap%8A%D6%90%94%90%CF%95%AA%20Si(x)%2CCi(x)%20(%95%5C)%2Fdefault.xml
http://netnumpac.fuis.fukui-u.ac.jp/cgi-bin/numpac/htoh?si.html
http://www.sra.co.jp/people/miyata/algorithm/si.txt
http://ja.wikipedia.org/wiki/Sinc%E9%96%A2%E6%95%B0

参考URL:http://algo.inria.fr/esf/function/SI/SI.pdf

a=0の場合は
積分範囲-∞~+∞の積分の1/2になります。
aがゼロ以外の定数では
初等関数の範囲では積分できません(高校の数学の範囲では)。
収束しますので数値積分は可能です。

特殊関数Si(x)(参考URL参照)を使えば積分結果を表現でき、積分値も存在します。
積分値=(π/2)-Si(a)

参考URL
http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi?path=08000000.%93%C1%8E%EA%8A%D6%90%94%2F07000500.%90%CF%95%AA%8A%D6%90%94%2F10000900.%8EO%8Ap%8A%D6%90%94%90%CF%95%AA%20Si(x)%2CCi(x)%20(%95%5C)%2Fdefault...続きを読む

Q複素積分 ∫[-∞→∞] (sinx)/x dxについて

∫[-∞→∞] (sinx)/x dx=π
について教科書の解説を見ても理解出来ないところがあったので教えてください。
手持ちの教科書では次のような流れで計算をしていました
F(z)=exp(iz)/zとおく
F(z)はz=0に1位の極を持つのでz=0を避けるような経路C(添付図)をとる … (1)
D2は半径εの半円弧である
F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0 … (A)
F(z)の経路C=R+U+L+D1+D2+D3においてR,U,Lでの積分は0(証明長くなるので省略)

また、D2での積分は
∫[D2] F(z) dz = ∫[D2] {F(z)-(1/z)} dz +∫[D2] (1/z) dz
と分けるとF(z)-(1/z)はz=0で正則なのでε→0のとき積分の値は0 … (2)
∫[D2] (1/z) dz は z=εexp(iθ)とおいて計算すると-πiになる
(A)でX,Y→∞ ε→0とすると
∫[-∞→∞] (exp(ix)/x dx - πi =0 …(B)
exp(ix)=cos(x)+isin(x)より、
∫[-∞→∞] (cosx)/x dx + i∫[-∞→∞] (sinx)/x dx = πi
両辺の虚部をとって
虚部をとって∫[-∞→∞] (sinx)/x dx=π
ここまでが教科書での解答の大まかな流れです
疑問点は以下のとおりです
A:(1)で0を避けた理由
B:(2)でF(z)=F(z)-(1/z)+(1/z)と分けたのはどこから来たのか
C:(2)でF(z)-(1/z)はz=0で正則とあるがz=0で1/zは定義できないのに正則?
D:D1とD3は回答中で触れてないが無視していいのか
E:この問題はタイトルの積分を留数定理で解けという問題だったのですが留数定理使ってないような?

長くなりましたがよろしくお願いします

∫[-∞→∞] (sinx)/x dx=π
について教科書の解説を見ても理解出来ないところがあったので教えてください。
手持ちの教科書では次のような流れで計算をしていました
F(z)=exp(iz)/zとおく
F(z)はz=0に1位の極を持つのでz=0を避けるような経路C(添付図)をとる … (1)
D2は半径εの半円弧である
F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0 … (A)
F(z)の経路C=R+U+L+D1+D2+D3においてR,U,Lでの積分は0(証明長くなるので省略)

また、D2での積分は
∫[D2] F(z) dz = ∫[D2] {F(z)-(1/z)} dz +∫[D2] (1/z) dz
と分ける...続きを読む

Aベストアンサー

>F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0
>がコーシーの積分定理だけでなく留数定理からも導けたということですね、コーシーの積分定理にとらわれて見えていませんでした
そういうつもりで書いていましたが、そう書いている所は見つからないですね。(web上でしか探してませんが・・・)
留数定理の特別な場合がコーシーの積分定理と考えても問題は生じないと思いますが、そう考える事は少ないのかもしれません。

>手持ちの教科書ではaが1位の極でf(z)=h(z)/g(z)で表せるとき
>Res(a) = h(a)/g'(a)と書かれていました
あぁ、aは1位の極という条件があったのですね。
教科書に書いてあるのならそれでいいのでしょう。(私などの言うことよりは教科書に書いてある事を信じるべきです)

>>>D1とD3は実軸上なのでその経路上の積分においてF(z)=F(x)=exp(ix)/xと置き換えられる
>これは本当にいいんでしょうか。教科書などでもいきなりやってるのでなんとなくやってましたが
>∫[実軸と水平な直線N]F(z)dz = ∫[Nの左端のx座標→Nの右端の座標]F(x)dx について手持ちの教科書では説明が見当たりません

例えば、#2への補足のD2'上の積分の計算で、
z=εexp(iθ)
と"置換"をしています。
この"置換"によって積分変数が複素数から実数へと変わりますよね。従って"置換"の前後で積分自体の定義が若干変わるので、普通の実数値関数の積分の場合と同様に"置換"ができるという事自体は必ずしも自明ではないと思います。(複素積分の定義にもよるかもしれませんが)
ですので、こういう"置換"ができるという事はお手持ちの教科書のどこかに書いていませんか。
式としては参考URLのComplex line integralの節の3つ目の式です。

ま、証明はともあれこの式を認めてよいのであれば、
ご質問の件はz=xと"置換"をしただけです。参考URLの式で言えばγ(x)=xとしているだけです。

>また、今回のRやLのような虚軸方向の直線の積分はyの積分に置き換えていいんでしょうか
z=±X+iyと"置換"をする(γ(y)=±X+iyとして参考URLの式を当てはめる)
のような事をするだけです。

>R,L,U上の積分はあくまでもX→∞,ε→0の極限で0になることの証明は教科書にあるので読めばわかるだろうと高を括っていましたが甘かったようです。
ん、今まで気付きませんでしたが、R,L,U上の積分を考える上ではεは何処にも出てこないのでε→0の極限はとらなくてもいいですね。あと、Y→∞の極限をとる必要もあるでしょう。(この部分は最初に書き損じて後はコピペをしていたせいで全部間違えただけのような気もしますが、せっかく気付いたので念のため)

という事はさておき、この証明はそんなに難しいのですかね。
いや、簡単だとか言っているのではなく、こういう経路で実際に計算した経験(記憶?)がない(&実際に計算をしていない)ので、どこで計算に詰まるのか分らないだけなのですが。

>今回の経路のR,L,Uの代わりに半径Xの半円Pとしてやった経路(P+D1+D2+D3)を考えると1/zはz→∞のとき0に収束するのでジョルダンの補助定理が適用できて∫[P]F(z)dz = 0
まぁ、いいのではないでしょうか。
正確にはz→∞ではなく|z|→∞かな。

参考URL:http://en.wikipedia.org/wiki/Line_integral

>F(z)はCで正則なので∫[C] F(z)dz = 0
>がコーシーの積分定理だけでなく留数定理からも導けたということですね、コーシーの積分定理にとらわれて見えていませんでした
そういうつもりで書いていましたが、そう書いている所は見つからないですね。(web上でしか探してませんが・・・)
留数定理の特別な場合がコーシーの積分定理と考えても問題は生じないと思いますが、そう考える事は少ないのかもしれません。

>手持ちの教科書ではaが1位の極でf(z)=h(z)/g(z)で表せるとき
>Res(a) = h(a)/g'(a)と書かれてい...続きを読む

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qsinx/xの二重積分

∫[0→π/2](∫[y/2→y]sinx/x dx)dy+∫[π/2→π](∫[y/2→π/2]sinx/xdx)dy
という問題なのですが、sinx/xの積分は初等関数では解けないらしく特殊関数Si(x)を使うらしいのですが、まだSiは習っていません。

積分範囲-∞~+∞だとsinx/xを求めることができるらしいのですが、
この問題は積分範囲を-∞~+∞に変更するのですか?

Aベストアンサー

初等関数の範囲では積分できませんので、数値積分します。
f(x)=sin(x)/xをマクローリン展開してそれを積分すれば良いですね。

求める積分値の正確な値は「1」ですね。

マクローリン展開の項数を
5項まで取れば積分の精度は有効桁数4桁
10項まで取れば積分の精度は有効桁数9桁、
20項まで取れば積分の精度は有効桁数20桁、
51項まで取れば積分の精度は有効桁数61桁
となりました。
80項、100項、200項、...としたら、精度の有効桁数は100桁以上で
積分値=1になります。

マクローリン展開する方法は初等関数で積分が表せなかったり、特殊関数を使っても積分が表せない場合にも有効な数値計算法として使えます。
Si(x)は習っていなくても、マクローリン展開なら習っているでしょう(高校の数学の参考書などにも見かけますから)。

参考)数値計算はフリーソフトの数式処理ソフトwxMaxima使用

Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

Q∫log sinx dxや∫log cosx dx のやり方

∫log sinx dxや∫log cosx dxの計算をやっているのですが、置換積分や部分積分をフル活用しているのですが、先が見えません。助けて下さい。

Aベストアンサー

こんにちは。不定積分ではなく定積分でお答え
します。広義積分を習っていることを仮定しますが…
でも、
∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
についてだけです。
まず、上の積分が収束するかという問題があります。
(実際には、絶対収束します。)
この収束を示すことが必要なら補足しますので、
ここでは省きます。
(ヒントは(√x)log(sinx)に対してロピタルの定理を使い、x→+0とします。)

以上のことを頭の隅において積分を計算します。そこで、
I=∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
とおきます。ここで、xをπーxに、又はπ/2-x
と変数変換すると
I=∫_{x=π/2~π}log (sinx) dx
I=∫_{x=0~π/2}log (cosx) dx
となります。これらは、右辺の広義積分が収束して
値がIに等しいことを意味します。一方、
2I=∫_{x=0~π}log (sinx) dx
であり、x=2tとおくと
I=∫_{x=0~π/2}log (sin2t) dt
 =∫_{x=0~π/2}log (2 sint cost) dt
 =∫_{x=0~π/2}log 2 dt+∫_{x=0~π/2}log (sint) dt+∫_{x=0~π/2}log (cost) dt
=π/2*log 2+2I
∴ I=ーπ/2*log 2
となります。ご参考までに。

こんにちは。不定積分ではなく定積分でお答え
します。広義積分を習っていることを仮定しますが…
でも、
∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
についてだけです。
まず、上の積分が収束するかという問題があります。
(実際には、絶対収束します。)
この収束を示すことが必要なら補足しますので、
ここでは省きます。
(ヒントは(√x)log(sinx)に対してロピタルの定理を使い、x→+0とします。)

以上のことを頭の隅において積分を計算します。そこで、
I=∫_{x=0~π/2}log (sinx) dx
とおきます。...続きを読む

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Qexp(ikx)の積分

exp(ikx)のマイナス無限大から無限大までの
積分の公式または方法はありますか?
iは虚数でkは定数です。

Aベストアンサー

それはδ関数になります。普通に積分しても答は出ません。

たとえば、

∫[-a→a] exp(ikx) dx = 2a [sin ka]/[ka] = 2a sinc(ka)

2a sinc(ka)は-∞から+無限大までkで積分すると
aによらず面積が2πになる関数で、a→+∞の極限をとったものを
2πδ(x)と書きます。これがδ関数です。なので、

∫[-∞→∞] exp(ikx) dx = 2πδ(x)


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A