三角関数って何ですか？

三角関数ってなんでしょうか？
高校3年にもなってこんなこと言ってると笑われますけれど、
具体的に何？と同級生に聞いても「三角関数は三角関数」としか言わないあたり、
三角関数が何かを詳しく知る人は周りにはいないみたいで・・・。

数式を使う際には形で覚えるので良いのですが、
図形から読み取るとなると少し考えてしまいます。

三角関数と言えばsinやcosとは言えますが、
じゃあsinやcosは何を示しているのか、となると正直さっぱりです。

具体的に教えていただけないでしょうか？
お願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/15 19:40

「三角関数」という言葉が何か？と言えば、これはもう、単に

sin と cos と tan と cot と sec と cosec の総称です。
寄せ集めて名付けただけだから、「三角関数ってなんでしょうか？」
と問われると、「三角関数は三角関数」としか言いようがない。

じゃあ、個々の sin や cos や tan や cot や sec や cosec
は何か？と言うと、その定義のやり方は、同値だけど形式的に異なる
ものが幾つもあります。

例えば sin について、
(1) 微分方程式 (d/dx)^2 f(x) = -f(x), f(0) = 0, f'(0) = 1
　　の解を f(x) = sin x と命名する。
(2) 関数等式 f(x+y) = f(x)g(y)+g(x)f(y), g(x+y) = g(x)g(y)-f(x)f(y)
　　を満たす連続関数 f, g で、x = 0 で微分可能なものを
　　f(x) = sin(x), g(x) = cos x と命名する。
(3) ∫[t=0→x] dt/√(1-t^2) は、複素多価関数となるが、
　　その逆関数である周期関数を sin x と命名する。
(4) sin x = Σ[n=0→∞] { (-1)^n / (2n+1)! } x^(2n+1) とする。
etc,etc.

どの定義を採用しても、得られる sin は共通であり、
x を 0≦x≦π/2 に制限すると、鋭角 x を持つ
直角三角形において定義される「三角比」と一致します。

だからと言って、三角比と三角関数に同じ記号を使ってしまうのは
ちょっと不用意で、貴方のような疑問を持つ人が出るだけなんですがね。
これは、歴史的慣習だからしかたがありません。

三角比を拡張して三角関数になったと考えるよりは、
三角関数の定義域を制限すると三角比と一致すると考えたほうが、
話がスッキリするとは思います。

No.4 回答者： Subaru_Hasegawa 回答日時： 2013/01/15 10:47

知ろうという気にならないから頭に入らないのです。

人間は必要と思えば脳が動きますから。一部の例外はありますがｗ

三角関数は、三角比の記号を含む巻数と考えればいい。
それぞれの意味は本当に知りたければ教科書を読みましょう。

No.3 回答者： GIANTOFGANYMEDE 回答日時： 2013/01/15 10:29

三角関数というのは直角三角形の形を二つの辺に注目して式で表現したものです。

sinは斜辺、高さの二つに
cosは斜辺、底辺の二つに
tanは底辺、高さの二つに
注目したもの。
覚え方はアルファベットの筆記体の形、書き順で覚えれば簡単です。
図のように書き出しが分母、書き終わりが分子です。

No.2 回答者： ereserve67 回答日時： 2013/01/15 07:43

高校だと

三角比→三角関数

と進みますから，比から関数というのが少し難しく感じるのではないでしょうか．数学的には例えばθが鋭角の場合

・角度θに対して直角三角形が一つ定まる

・その直角三角形に対して高さ/斜辺，底辺/斜辺の比が大きさに関係なく角度θだけできまる．

・それらをsinθ，cosθとかく

『θに対してただ一つの値（sinθ，cosθなど）が決まるのが関数』

でした．θが一般角なら単位円を使って（図）

（☆）θに対してy,xがただ一つ定まるからそれぞれsinθ，cosθとかいて三角関数とよぶ

これでいいのです．単位円の定義からsinθ，cosθ，tanθはそれぞれy座標，ｘ座標，動径の傾きと言えます．

大学以上の数学を学ぶと，オイラーの公式e^{iθ]=cosθ+isinθを学びます．最初はe^{虚数}の定義に使うのだとして学びますが，それは便宜上そう言っているだけであって複素関数論を学ぶとともっと奥深いものがあります．そこではsin(z),cos(z),e^(z)などを複素変数zのべき級数として次の式で「定義」します．

　　　sin(z)=Σ_{n=0}^∞(-1)^nz^{2n+1}/(2n+1)!
（★）cos(z)=Σ_{n=0}^∞(-1)^nz^{2n}/(2n)!
　　　e^z=Σ_{n=0}^∞z^n/n!

オイラーの公式はこの3つの表現から自動的に導かれるのです．今度はｚを複素数と考えますから，図形的にどうのこうのということが言いにくくなります．しかし，この右辺には☆で定義される三角関数の性質（相互関係式や加法定理など）がすべて入っているので，sin(z)などの記号は本当に記号としての意味しかありません．

とりあえずは高校生の場合は☆で充分だと思います．大学生になったら★を理解できるようになりましょう．物事はだんだん奥深くそして広くなっていくのです．

No.1 回答者： elegant-orgel 回答日時： 2013/01/15 02:02

三角関数とは中学の三角形の定義をすこし発展させて、二辺の角度や、対角がわかるとそこから、その対角にある辺の長さがわかるといった方程式をあらわしたものです。

サイン　や　コサインは　何を表しているかというのは、三角形のどの角度にあたる部位の角度に該当するかというだけの問題です。

余弦定理など基本的な計算式を　実際に数字を置いて計算してみると、わかりやすいと思います。

ルート３　の辺が　サイン角度のとき・・・・どうなるのか？

円の中に描かれた三角形が　第一（しょうげん）第二（しょうげん）第三（しょうげん）第四（しょうげん）では、どういう　サイン＆コサイン関係に位置して辺と角度を捕らえて計算するか・・・

これだけの問題です。

ですから、教科書の最初の5ページくらいを、何度も何度もノートに丸写ししてしまえば、覚えるのではなくて、決まりきったことを前提に！計算しているだけに過ぎないということに気がつきますよ。

三角関数がわからないという人が、よく高校生に多いですけど・・・

理解するまえに、【そもそもそうなっていることから計算式が成り立っているんだ】ということを身につけてください。

問題を解けば解くほど、そのことに気がつくはずだと思います。

三角関数は　公式にあてはめるだけの問題なのです。

○ですから、そのパーツ（公式）にあてはまらない角度が出題されることはありません。

質問（具体的に教えていただけないでしょうか？）

回答（具体的に公式に、当てはめていけばいいのです。）
公式を丸暗記して、あとはその問題に当てはめて導き出すのが　三角関数です。

文字通り三角を使った関数（かんすう）ですから・・・・公式どおりに当てはめて計算する演算ということです。

参考URL：http://www8.plala.or.jp/ap2/suugaku/sankakukansu …