任意の2x2行列B=(p, q, r, s)に対して、B=A^2を満たす行列A=(a, b, c, d)の各要素をp, q, r, sで表すことは可能でしょうか?

A^2の各要素を計算すると、a^2+bc, b(a+d), c(a+d), bc+d^2となります。これらにp, q, r, sを対応させて、

p = a^2+bc, q = b(a+d), r = c(a+d), s = bc+d^2の方程式を解けばいい、と思ったのですが、私には解けません。

こんな私ですが、ご教授いただければ幸いです。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (3件)

行列の名前を A とすると、これが対角化可能ならAの平方根を計算できます。



Aが対角化可能なら

P^(-1)AP = (λ1, 0, 0 λ2)
#(a, b, c, d) は2x2 の行列を表すとします。
#λ1, λ2 はAの固有値

となる行列 P が存在します。Pの求め方は線形代数の本には
必ず載ってますので、見てください。

これを変形すると
A = P(λ1, 0, 0 λ2)P^(-1)

ここで

B=P(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))P^(-1)

という行列の2乗は

B^2=P(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))P^(-1) P(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))P^(-1)
=P(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))P^(-1)
=P(λ1, 0, 0 λ2)P^(-1)=A


つまり B は A の平方根です。平方根に限らず A の任意のべき乗を計算できます。
ベクトル形式の一階の線形微分方程式の解を知りたいときに使う常とう手段ですね。

より一般的な対角化不能な場合や正則ではない場合はよく覚えていないのでパス(^^;
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご丁寧に解説いただき、ありがとうございました。早速勉強します。べき乗も求められたら、面白そうです。

お礼日時:2013/01/18 06:52

正則じゃなくても対角化できれば同じことだし, 対角化できない場合はジョルダン標準形から (少なくとも 2×2 行列なら) 計算でき

ます (がそもそも平方根が存在しない場合もある)>#1.
    • good
    • 0
この回答へのお礼

たいへん役に立つ情報をありがとうございます。早速勉強します。御礼申し上げます。

お礼日時:2013/01/18 06:53

ミス発見


λ2(1/2)→λ2^(1/2)
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。

お礼日時:2013/01/18 06:52

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qa^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ

こんにちは。

[問]
a^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ。
[解]
a+b=24log[a]b
a+b=6log[b]a=6/log[a]b
なので
(log[a]b)^2=1/4
log[a]b=±1/2
a^(±1/2)=b
からどうしてもa,bが定まりませんどうすれば定まりますでしょうか?

Aベストアンサー

>a,b(>0)の大小関係のいかんによってはlog[a]b<0も有り得るのでは??

ええ、もちろん log[a]b を単独でみるときはそうです。でも、この式
   a+b=24log[a]b をみると、a も b も正の数ですから、左辺は
正の数ですよね。ということは、右辺の log[a]b は正の数でなければな
りませんよね?そういう意味で log[a]b>0 といったのです。
したがって、もし b=a^(-1/2)を log[a]b に入れると log[a]a^(-1/2)=-1/2
となり、a+b=-12 で「a,bは正の数」と言うことに矛盾してしまいます。

納得できたでしょうか。説明が足りなくてすみませんでした。

Qgcd(p,q)=1,∃a,b∈G;#G=pq,#=p,#=qならばGは巡回群

gcd(p,q)=1とする。(G,・)を位数pq(つまり#G=pq)のアーベル群とせよ。
aの位数がp,bの位数がq(つまり#<a>=p,#<b>=q)であるような元a,b∈Gが存在する時,
(G,・)は巡回群である事(つまり,∃g∈G;<g>=G)を示せ。
また,このような群Gの例を挙げよ。

という問題はどのようにして示せばいいか分かりません。

是非,ご教示ください。m(_ _)m

Aベストアンサー

問題の条件においてGの元abの位数を考えてみましょう。
また例の方はp=2,q=3などとすればすぐに挙げられるでしょう。

QA=([a,b],[c,d])に対し,A^2+xA+yE=0,E=([

A=([a,b],[c,d])に対し,A^2+xA+yE=0,E=([1,0],[0,1])となるx,yを求めよ。できるだけ詳しく教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

> x,yを求めよ。とあると,
> 文字を使わない数字で答えが出なければいけないと思ってるのですが

文字にも「既知量」の文字と「未知量」の文字があります。
今の場合、a, b, c, d が既知量の文字として与えられているので、
x = (a,b,c,d の式)
y = (a,b,c,d の式)
の形であらわせ、というのが、ここで求められていることです。

ちなみに k は問題文中にありません。 注意してください。
(alice_44さんの解答の意味を分かっていれば k を a,b,c,d に関係づけるのは簡単なことですが、ここにはあえて書きません。 自分で考えないと勉強にならないから。)

あと「初心者」ということですが、だったらケーリー・ハミルトンみたいな「教えてもらった便利な公式」に頼るのはそれこそ邪道であって、正直にA^2を計算して連立方程式に持ち込むべきでしょう。 しょせんxとyについての連立1次方程式なのですから。

Qa,b,cは自然数で、a^2+b^2+c^2=abc (a<=b<=c

a,b,cは自然数で、a^2+b^2+c^2=abc (a<=b<=c)を満たす組(a,b,c)を求めよ。

代入して(3,3,3)は見つかったけれど、筋道たててもとめるにはどうしたらいいのでしようか。

Aベストアンサー

この関係を満たすa、b、cは無数に存在することが、06年の東大入試で出題されている。
書き込むのが面倒なので、下のURLを見て欲しい。


http://www.riruraru.com/cfv21/math/tum06f4.htm

QP=a^3b-ab^3+b^3c-bc^3+c^3a-ca^3を交代式

P=a^3b-ab^3+b^3c-bc^3+c^3a-ca^3を交代式を利用して因数分解することで質問があります。
この式はa,bの交代式であり、a,cの交代式でもあるとあるのですが、
確かにa^3b-ab^3、c^3a-ca^3の部分だけなら納得できるのですが、
この式全体としてみるとa,bやa,cを入れ替えて-Pになるとは思えません。

Aベストアンサー

 文字を入れ替えて、実際に計算してみましたか?
 一例として、a←→b で入れ替えた場合の計算を記しておきますので、後は、b←→c、c←→a の場合をご自分で確かめてみてください。


 P(a←→b)
=b^3a-ba^3 + a^3c-ac^3 + c^3b-cb^3
=-(a^3b-ab^3) - (c^3a-ca^3) - (b^3c-bc^3)
=-(a^3b-ab^3) - (b^3c-bc^3) - (c^3a-ca^3)
=-(a^3b-ab^3 + b^3c-bc^3 + c^3a-ca^3)
=-P


人気Q&Aランキング

おすすめ情報