
任意の2x2行列B=(p, q, r, s)に対して、B=A^2を満たす行列A=(a, b, c, d)の各要素をp, q, r, sで表すことは可能でしょうか?
A^2の各要素を計算すると、a^2+bc, b(a+d), c(a+d), bc+d^2となります。これらにp, q, r, sを対応させて、
p = a^2+bc, q = b(a+d), r = c(a+d), s = bc+d^2の方程式を解けばいい、と思ったのですが、私には解けません。
こんな私ですが、ご教授いただければ幸いです。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:2013/01/17 08:25
行列の名前を A とすると、これが対角化可能ならAの平方根を計算できます。
Aが対角化可能なら
P^(-1)AP = (λ1, 0, 0 λ2)
#(a, b, c, d) は2x2 の行列を表すとします。
#λ1, λ2 はAの固有値
となる行列 P が存在します。Pの求め方は線形代数の本には
必ず載ってますので、見てください。
これを変形すると
A = P(λ1, 0, 0 λ2)P^(-1)
ここで
B=P(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))P^(-1)
という行列の2乗は
B^2=P(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))P^(-1) P(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))P^(-1)
=P(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))P^(-1)
=P(λ1, 0, 0 λ2)P^(-1)=A
つまり B は A の平方根です。平方根に限らず A の任意のべき乗を計算できます。
ベクトル形式の一階の線形微分方程式の解を知りたいときに使う常とう手段ですね。
より一般的な対角化不能な場合や正則ではない場合はよく覚えていないのでパス(^^;
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