行列の平方根？のようなもの

任意の2x2行列B=（p, q, r, s)に対して、B=A^2を満たす行列A=(a, b, c, d)の各要素をp, q, r, sで表すことは可能でしょうか？

A^2の各要素を計算すると、a^2+bc, b(a+d), c(a+d), bc+d^2となります。これらにp, q, r, sを対応させて、

p = a^2+bc, q = b(a+d), r = c(a+d), s = bc+d^2の方程式を解けばいい、と思ったのですが、私には解けません。

こんな私ですが、ご教授いただければ幸いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時：2013/01/17 08:25

行列の名前を A とすると、これが対角化可能ならAの平方根を計算できます。

Aが対角化可能なら

P^(-1)AP = (λ1, 0, 0 λ2)
＃(a, b, c, d) は2x2 の行列を表すとします。
＃λ1, λ2 はAの固有値

となる行列 P が存在します。Pの求め方は線形代数の本には
必ず載ってますので、見てください。

これを変形すると
A = P(λ1, 0, 0 λ2)P^(-1)

ここで

B=P(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))P^(-1)

という行列の２乗は

B^2=P(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))P^(-1) P(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))P^(-1)
=P(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))(λ1^(1/2), 0, 0, λ2(1/2))P^(-1)
=P(λ1, 0, 0 λ2)P^(-1)=A


つまり B は A の平方根です。平方根に限らず A の任意のべき乗を計算できます。
ベクトル形式の一階の線形微分方程式の解を知りたいときに使う常とう手段ですね。

より一般的な対角化不能な場合や正則ではない場合はよく覚えていないのでパス(^^;

この回答へのお礼

ご丁寧に解説いただき、ありがとうございました。早速勉強します。べき乗も求められたら、面白そうです。

お礼日時：2013/01/18 06:52

No.3 回答者： Tacosan 回答日時：2013/01/17 11:30

正則じゃなくても対角化できれば同じことだし, 対角化できない場合はジョルダン標準形から (少なくとも 2×2 行列なら) 計算でき

ます (がそもそも平方根が存在しない場合もある)＞#1.

この回答へのお礼

たいへん役に立つ情報をありがとうございます。早速勉強します。御礼申し上げます。

お礼日時：2013/01/18 06:53

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時：2013/01/17 08:27

ミス発見

λ2(1/2)→λ2^(1/2)

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。

お礼日時：2013/01/18 06:52