[ミクロ経済学]答えの導き方

Question

経済・経営系の分野を専門に学んでいる大学生です。
現在、迫り来る試験に向けての勉強中なのですが、
どうしても解けない問題が出てしまい、困っております。
そもそも、この分野が専門にも関わらず、計算が苦手なので
初歩的な問題でもつまづいたりしております。

以下、教授から頂いた問題集より、問題を抜粋しております。
全ての問題でなくても構いません。答えまでの導き方を教えてください。
お手数をお掛けして申し訳ありませんが、今日中にお願い致します。
（全角が普通の数字、半角が冪乗です）

１．関数ｚ=ｘ2＋５ｘｙ‐ｙ3について、ｘ＝１、ｙ＝２における１階偏導関数を求めると、

∂ｚ／∂ｘ＝＜　　　　＞　答：１２
∂ｚ／∂ｙ＝＜　　　　＞　答：２７

２．指数法則を使って整理せよ。

｛（２５／９）2/3｝‐3/４＝＜　　　　＞　答：３／５
（４√８×３２ 1/2）2÷（１／１６）‐5/8＝＜　　　　＞　答：１６

３．独立変数をｋ、従属変数をｍとする。関数ｋ1/2＝８ｍ3を微分した時の導関数を求めよ。

答：ｄｍ／ｄｋ＝＋１／１２ｋ ‐5/6

４．（初歩どころじゃないのですが……）
　　２ｘ 1/2 に９を代入する問題があるのですが、
　　冪乗1/2をどう処理して良いか分からなくて答えが出せません……。

長くなってしまいそうなので、この問題はここまでで切ります。
（恐らくもう一つ、似たような要件で質問を投稿させて頂きます……！）

aokisika · Accepted Answer

１．関数ｚはｘとｙの関数ですが、偏微分はこれを無視して、ｘだけまたはｙだけの関数とみなして微分します。

∂ｚ／∂ｘ

の計算ではｚはｘだけの関数であって、ｙは定数であるとみなして導関数を求め、それに
ｘ＝１
を代入します。
同様に
∂ｚ／∂ｙ
ではｚはｙだけの関数であって、ｘは定数であるとみなして微分します。

２．
このサイトでは冪の表示に「＾」を使う習慣があるようです。これをつかうと
｛（２５／９）＾２／３｝＾－３／４
と表示します。

さて、
（Ａ＾Ｂ）＾Ｃ＝Ａ＾（Ｂ×Ｃ）
の関係があります。これが指数法則です。これをつかうと１つ目はすぐ解けます。

ところで
Ａ＾１／２＝？
これを２乗すると
（Ａ＾１／２）＾２＝Ａ＾｛（１／２）×２｝＝Ａ
となります。
Ａ＾１／２　を２乗するとＡになるということは
Ａ＾１／２＝√Ａ
であるということです。
これをつかうと２つ目の計算も解けます。

３．
これは２．の応用問題です。上記の指数法則をつかって与えられた式を変形して
ｍ＝
という形にしてｋで微分すれば解けます。

４．
これも同じです。２分の１乗と言うのは平方根ですから、ｘに９を代入して平方根すればよいわけです。
ついでに３分の１乗は３乗根、４分の１乗は４乗根になるのはすぐわかりますね。

１．関数ｚはｘとｙの関数ですが、偏微分はこれを無視して、ｘだけまたはｙだけの関数とみなして微分します。