物理電磁気学の波動方程式のナブラの計算
波動方程式 ∇^2 E=ε_0 μ_0 (∂^2 E)/(∂t^2 )
∇^2=∂^2/(∂x^2 )+∂^2/(∂y^2 )+∂^2/(∂z^2 )
平面波 E=E_0 e^(i(k・r-ωt))
ik・r =i(k_x x+k_y y+k_z z)
平面波の式を波動方程式に代入すると -k^2 E_0 e^(i(k・r-ωt))=-ω^2 ε_0 μ_0 E_0 e^(i(k・r-ωt)) となる。
この左辺がどのようにしてこの値になるかを教えてください。よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
E=E_0e^{ik_xx}e^e^{ik_yy}e^{ik_zz}e^{-iωt}
となりますから,例えば∂/∂xは因子e^{ik_xx}だけに作用して,
∂E/∂x=E_0ik_xe^{ik_xx}e^e^{ik_yy}e^{ik_zz}e^{-iωt}
すなわち
∂E/∂x=ik_xE
となります.もう一度作用させると
∂^2E/∂x^2=E_0(ik_x)^2e^{ik_xx}e^e^{ik_yy}e^{ik_zz}e^{-iωt}
すなわち
∂^2E/∂x^2=(ik_x)^2E
となります.∂/∂y,∂/∂zについても同様で
∂^2E/∂y^2=(ik_y)^2E, ∂^2E/∂z^2=(ik_z)^2E
になります.これらを加えると
∂^2E/∂x^2+∂^2E/∂y^2+∂^2E/∂z^2
={(ik_x)^2+(ik_y)^2+(ik_z)^2}E
∇^2E=-(k_x^2+k_y^2+k_z^2)E=-k^2E_0 e^(i(k・r-ωt))
となります.
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