dポイントがお得になるネット回線は?

固有ベクトルを求めずに、固有値だけでジョルダン標準形を求めるやり方を教えて下さい。
自分のやり方の間違っている点や不十分なところを指摘して下さい。

例題
A=
[2 0 -1]
[-2 3 2 ]
[1 0 0]
のジョルダン標準形を求めなさい。

解法
(1)固有多項式で固有値を求める。
固有多項式Ψ(λ)=(λ-3)(λ-1)^2
λ=1(重解)、3

(2)それぞれの固有値におけるジョルダン細胞の個数を求める。
「1つの固有値に対する互いに独立な固有ベクトルの本数(固有空間の次元数)は、その固有値に対するジョルダン細胞の個数に等しい」ので、
つまり、固有空間の次元数=dim(A-λE)=n-rank(A-λE)=ジョルダン細胞数なので、
λ=3の時、
rank(A-3E)=2
dim(A-3E)=3-2=1
λ=1に対して、ジョルダン細胞1つ。

λ=1について
rank(A-E)=2
dim(A-E)=3-2=1
よってλ=1に対して、
ジョルダン細胞1つ。

(3)次にジョルダン細胞の次数を求める。
(A-3E)(A-E)≠0
(A-3E)(A-E)^2=0
より、最小多項式は
(λ-3)(λ-1)^2なので、
λ=3のジョルダン細胞の次数は1
λ=1のジョルダン細胞の次数は2

よってJ=J(3,1)➕J(1,2)
(➕は、+の丸囲み)
J=
[3 0 0]
[0 1 1]
[0 0 1]

一応、答えは出ました。これで間違いないですか?
しかし、私のやり方では、(3)でわざわざ、
(A-3E)(A-E)^2を計算しなくてはいけません。
これがけっこう面倒です。

そうではなく、最小多項式を求めなくてもいいやり方を教えてほしいのです。

A 回答 (1件)

(2)の時点で、J=J(3,1)+J(1,2) と判明しているね。


今回、最小多項式は求める必要が無いし、
A のジョルダン標準形の内容によっては、
固有多項式と最小多項式を求めただけでは
ジョルダン胞の構成は決定できない。

固有方程式の n 重根 λ については、
k = 1,2,…,n 各次の一般固有空間 W_k = { x | (A-λE)^k x = 0 }
の次元を全て求めれば、ジョルダン標準形が決まる。
W_k の次元が、k 次以上のジョルダン胞の個数になっているから。
(もちろん、今回のように、一部省略できる場合もある。)
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Qジョルダン標準形への変換行列の求め方について

この画像の問題の(2)のジョルダン標準形への変換行列Tの求め方なのですが、
定石どおりにλ=1-αが重根のため[A-(1-α)E]t=aとなる列ベクトルtを求めようとしましたが
t=c1[1 0 0]+c2[0 1 0]となってしまい求めることができませんでした。
次にジョルダン標準形Jは決定するためこれからTJ=ATより求めようとしたところ
これでも第1行目が決定せず求めることができませんでした。

回答を見ましたところTJ=JTよりTを決定していました。
回答は少し見にくいですがT=[a;(-3/4) (1) (0);b]となっておりました。

この求め方の意味がわからないのでどなたか教えていただけないでしょうか…
また私がやった定石どおりの方法でこの問題は解くことはできませんか?

どなたかよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

とりあえず問題の T は忘れてふつうに
J = P^(-1)AP
の P を求めようとするなら, あなたのやった通りでできますよ.

まず 1-α に対する固有ベクトル [1, 0, 0] と -2 に対する固有ベクトル (略) はあってる. んで 1-α に対して一般化固有ベクトルがもう 1本あって, それは
[A-(1-α)E] x = [1, 0, 0]
の解として
x = [c, 1, 0]
が出てくる. これで合計 3本の (一般化) 固有ベクトルが得られたので, これをふつうに並べれば P になる.

と, #3 に書いてある.

Qジョルダン標準形ってなんのため?

線形代数の本を読んでいると、後ろのほうにジョルダン標準形がでてきます。
書いてあることをなぞることはなんとかできるのですが、固有値の次にいきなり前触れもなく現れるので、これが
・どういう(歴史的)要請・経由で
・何のために
現れたのかがわかりません。

ジョルダン標準形の本質は何でしょうか?

Aベストアンサー

ジョルダンは線形代数の最終関門でこの証明を一度は理解していたほうがいいでしょう
証明は灯台出版から単行本が出ていて何種類か乗っています
私は単因子(あるいは行列子因子)による方法を一度は理解しましたが忘れました
でも必要があれば読み返せばすぐに思い出せるようにはなっています
定理は簡単なのですが重要です
制御理論で使います
ジョルダンの標準形は正則行列で対角化できない行列を準対角行列に分解するものです
x(t)を要素がtの関数の列ベクトルとし
Aを要素が定数の正方行列とし
v(t)を要素がtの関数の列ベクトルとし
x’(t)=A・x(t)+v(t)としたときに
正則行列PによってP^(-1)・A・Pが対角行列になるならば
x(t)を簡単に求めることができます
しかし正則行列PによってP^(-1)・A・Pが対角行列にならなくても
正則行列PによってP^(-1)・A・Pがジョルダンの標準形になれば
少し複雑になりますが簡単にx(t)を求めることができます
本質が何打という質問は何回で答えることができる人はいないのでは?

ジョルダンは線形代数の最終関門でこの証明を一度は理解していたほうがいいでしょう
証明は灯台出版から単行本が出ていて何種類か乗っています
私は単因子(あるいは行列子因子)による方法を一度は理解しましたが忘れました
でも必要があれば読み返せばすぐに思い出せるようにはなっています
定理は簡単なのですが重要です
制御理論で使います
ジョルダンの標準形は正則行列で対角化できない行列を準対角行列に分解するものです
x(t)を要素がtの関数の列ベクトルとし
Aを要素が定数の正方行列とし
...続きを読む

Q最小多項式の求めかたを教えてください

情報数学 代数数学 離散数学どれにあたるかわかりませんが、行列ではないとおもいます

教科書をよんでもわからないので

いくつか例をあげてやり方を教えてくれませんか?
お願いします

Aベストアンサー

最小(消去)多項式 ですよね。
最小多項式は、特性多項式の約数になるので、
特性多項式を因数分解して、
因数の積で ≡0 になる組み合せを探せばよいです。

Qジョルダン細胞について

次の理由(証明)を教えて下さい。
A=n次正方行列
λを固有値
Eを単位行列とします。
(1)λに対するジョルダン細胞の個数は、
dim(Ker(A-λE)) =n-rank(A-λE) に等しい。
つまり、1つの固有値λに対する独立なベクトルの本数は、その固有値に対する
ジョルダン細胞の個数に等しい。

(2)λに対するジョルダン細胞の最大次数は、最小多項式のλの次数に等しい。

(3)λに対する(m+1)次以上のジョルダン細胞の個数は、
rank(A-λE)^m ー rank(A-λE)^(m+1)

Aベストアンサー

(3) から行きましょう。
行列 A のジョルダン標準形を J 、
その変換行列を P と置きます。J = (P^-1)AP.
A に対して J, P が存在することは、ここでは
証明せずに仮定します。

(A-λE)^m = {P(J-λE)(P^-1)}^m = P{(J-λE)^m}(P^-1)}
より、rank (A-λE)^m = rank (J-λE)^m です。
J-λE は、固有値は異なるものの、ブロック構造は J と
同じであるようなジョルダン標準形になっています。
ジョルダン標準形とは、ジョルダン胞をブロックに持つ
ブロック対角行列のことですが、
ブロック対角行列の m 乗は、ブロック毎に m 乗すればよく、
ブロック対角行列の rank は、各ブロックの rank の和です。

k 次ジョルダン胞の m 乗は、固有値が 0 でないとき rank = k、
固有値が 0 のとき rank = max{k-m,0} です。(m = 0 も含む)
これは、m 乗を具体的に成分計算してみれば判ります。
ジョルダン胞を J(λ,k) = λE+N と置いて、二項展開すると、
解りよいかもしれません。

m による階差 rank (A-λE)^m - rank (A-λE)^(m+1) は、
固有値 λ に属する各ジョルダン胞 J(λ,k) について
max{k-m,0} - max{k-m-1,0} を合計したもの …すなわち、
k-m ≧ 1 であるジョルダン胞の個数となります。これが (3)。

(3) で m = 0 とすると、固有値 λ に属するジョルダン胞
の個数は rank E - rank (A-λE) と判ります。これが (1)。

ブロック対角行列の多項式は、ブロック毎にその多項式へ
代入したものを並べたものになります。したがって、
最小多項式は、各ジョルダン胞を消去する最小次数の多項式です。

固有値 λ に属する次数 m のジョルダン胞は、k ≧ m のとき
(x-λ)^k によって消去されます。
よって、消去多項式は、各ジョルダン胞 J(λ,m) に対応して
因数 (x-λ)^m があることになり、その中で最小次数のものは、
λ に対する m の最大値を m' として、各 λ を m' 重根に持つ
多項式です。これが (2)。

(3) から行きましょう。
行列 A のジョルダン標準形を J 、
その変換行列を P と置きます。J = (P^-1)AP.
A に対して J, P が存在することは、ここでは
証明せずに仮定します。

(A-λE)^m = {P(J-λE)(P^-1)}^m = P{(J-λE)^m}(P^-1)}
より、rank (A-λE)^m = rank (J-λE)^m です。
J-λE は、固有値は異なるものの、ブロック構造は J と
同じであるようなジョルダン標準形になっています。
ジョルダン標準形とは、ジョルダン胞をブロックに持つ
ブロック対角行列のことですが、
ブロック対角行列の m 乗は、ブロック...続きを読む

Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。)

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう?
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて1になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n...続きを読む

Qジョルダン標準形

4 0 -1 -1
-1 4 0 -1
0 0 5 0
2 1 1 7
上記の4×4行列についての質問です。

固有値が5(重複度4)となり、ジョルダンブロックの個数が2となるのはわかるのですが
この行列のジョルダン標準形の固有値5に属するブロックのうち、ひとつは3次、ひとつは1次になる理由がわかりません。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

No2です。勤務中のため、丁寧に回答することができませんでした。すみませんでした。ところで、「ジョルダンブロックの個数が2となることは分かる」ということですので、No2に書いたことまでは分かると言うことですね。ではその続きですが、4×4行列について、ジョルダン細胞の個数は2個ですから、ジョルダン標準形は(2次、2次)となるか、(3次、1次)となるかのどちらかです。これを確かめるには、実際、計算を続行してみましょう。
(A-5E)x=0
の一般解pはp=(x y y -x)となりますね。このうちの1つの解p1として、
p1=(1 0 0 -1)
としましょう。次に
(A-5E)x=p1
の解をp2としましょう。すると、p2は、
p2=(1 1 0 -2)
となります。次に
(A-5E)x=p2
の解p3を求めます。ジョルダン標準形が(2次、2次)となる場合は、p3を求めることができません。解が存在しないのです。ところが、この問題の場合にはp3を求めることができて、
p3=(-1 0 0 0)
となります。
以上のことから、ジョルダン標準形は(2次、2次)ではなく、(3次、1次)となることがわかります。ジョルダン行列への正則変換行列Pを求めるには、p=(x y y -x)を満たし、p1=(1 0 0 -1)と独立な解をp4とすればよいでしょう。
詳しく理解するには、一般固有空間についても復習されることをお薦めします。
尚、ジョルダン標準形だけを求めるのであれば、単因子による方法か、基本変形による方法の方が早いと思います。

No2です。勤務中のため、丁寧に回答することができませんでした。すみませんでした。ところで、「ジョルダンブロックの個数が2となることは分かる」ということですので、No2に書いたことまでは分かると言うことですね。ではその続きですが、4×4行列について、ジョルダン細胞の個数は2個ですから、ジョルダン標準形は(2次、2次)となるか、(3次、1次)となるかのどちらかです。これを確かめるには、実際、計算を続行してみましょう。
(A-5E)x=0
の一般解pはp=(x y y -x)となりますね。このうちの1...続きを読む

Qジョルダン標準形の求め方が?

僕の教科書は、三宅敏恒「線形代数学」なのですが、
ジョルダン標準形の求め方として、
(tE-A)の根から固有多項式を出し、それから最小多項式を求めています。
僕が思うには、ジョルダン標準形は、固有値を一般的に求めるためのものなので、
このやり方では、意味ないと思います。
実際には、どうやって、ジョルダン標準形を求めるのですか?
(行基本変形の繰り返しで、できるのでしょうか)

Aベストアンサー

>単に特性方程式を解けばいい くらいに思っていました
定係数線形微分方程式はAをnxn行列,Bをnxm行列,x(t)を未知n次元列ベクトル,u(t)を既知m次元列ベクトル
x'(t)=Ax(t)+Bu(t)
と表される。
このときx(t)を変数変換することによってAをジョルダン化れば解が直ちに解が求まる。
これを解くときにラプラス変換をして解く場合も有るが
ジョルダン化がもっとも近道である。
nは通常10以下であるが多い場合には10以上になる。

>重根の場合、もう1つ別の固有関数を見つけてこないといけないので、
単純にはいきませんね。
意味不明。

>ジョルダン標準形で表わすことによって、重根の場合でも、もう1つの固有ベクトルが、機械的に出てくるということでしょうか?
意味不明。

>5次以上の代数方程式は、代数的には解けない
という意味でしょうか?
関係ない。
例えば
固有多項式が(x-1)^4、最小多項式が(x-1)^2となった場合であっても
ジョルダンは

[1 1 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 1]
[0 0 0 1]

[1 1 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]

のどちらなのか分からないということ。

>単に特性方程式を解けばいい くらいに思っていました
定係数線形微分方程式はAをnxn行列,Bをnxm行列,x(t)を未知n次元列ベクトル,u(t)を既知m次元列ベクトル
x'(t)=Ax(t)+Bu(t)
と表される。
このときx(t)を変数変換することによってAをジョルダン化れば解が直ちに解が求まる。
これを解くときにラプラス変換をして解く場合も有るが
ジョルダン化がもっとも近道である。
nは通常10以下であるが多い場合には10以上になる。

>重根の場合、もう1つ別の固有関数を見つけてこないといけないので、
単純...続きを読む

Q固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

( -7 -5 )
( 13 9 )

の2x2行列で固有値を求めると 1±2i になると思いますが

Av = λv の形で固有ベクトルを求めようとすると

( -8 + 2i ) x - 5 y = 0
13 x + ( 8 + 2i ) y = 0

の形になり、その先を求めることが出来ません。
何度も計算したので最後の2つの式は間違いは無いと思うのですが、
固有値が複素数の時は、Av = λv の方法で計算することは出来ないということでしょうか?
またどのように計算できるのでしょうか?
お知恵をお貸しいただければ幸いです。

Aベストアンサー

固有値は1±iになるかと…

そこから先の計算は普通に実数の時と同じ方法で計算できます.

Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

QKer(核)やIm(像)の意味がわからない。

Aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル
このとき
KerA={x∈Rn|Ax=0}
ImA={Ax∈Rm|x∈Rn}と定義する。
※Rn,Rmのn,mはRの右肩にあります。

この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
(解が一通りしかない場合)もありますが、解がない場合だって
ありますよね? これも、Aの中身によります。
そこで、xをいろいろ変えてみて、でてくるbを
すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
Ker(A)は、連立方程式Ax=0の解xの集合、
Im(A)は、Ax=bが解ける場合のbの集合
とでも理解しておけばいかがですか?
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連...続きを読む


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