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e^2x-e^-2x/x 極限

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  • 質問者：g_girls
  • 質問日時：
  • 回答数：2件

e^2x-e^-2x/x 極限が4というのがわかりません。
上の式を(e^2x-e^-2x)^2-2/xとしたのですが
この先どうしたらよいのでしょうか？

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「^」に関するQ&A： １４・・・０３４３です(^o_o^)

A 回答 (2件)

No.2ベストアンサー

  • 回答者： ereserve67
  • 回答日時：

x→0のときの極限ですよね．質問者様の式変形では詰まってしまいます．



微分係数の定義に持ち込みます．

4[(e^{2x}-e^{-2x})/(4x)]

と変形すると，[内]の部分は

f(x)=e^x

とおくと，

{f(0+2x)-f(0-2x)}/{0+2x-(0-2x)}

であり，これはx→0のときf'(0)=1を与えます．したがって求める極限値は

4lim_{x→0}(e^{2x}-e^{-2x})/(4x)

=4f'(0)=4

となります．
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この回答へのお礼

納得しました！
お二人ともありがとうございました

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お礼日時：2013/02/03 19:57

No.1

  • 回答者： spring135
  • 回答日時：

ロピタルの定理により



lim(x→0)[[e^(2x)-e^(-2x)]/x]= lim(x→0)[d[e^(2x)-e^(-2x)]/dx/dx/dx]

=lim(x→0)[2e^(2x)+2e^(-2x)]=4

0の周りにe^(2x),e^(-2x)をテーラー展開しても同じ結果が得られます。
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よって、
∫x^(a-1)dx＝(1/a)*x^a＋Ｃ
→∫x^adx＝{1/(a+1)}*x^(a+1)＋Ｃ
となります。

つまり、
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ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの（1/4）円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe＾-x＾2　をｘ方向に積分すると、
∫[0→a]e＾-x＾2dx
正方形の領域だからe＾-y＾2 をｙ方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e＾-x＾2dx=∫[0→a]e＾-y＾2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
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Aベストアンサー

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Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
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対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

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→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
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です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
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です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
= y' / y
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となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

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Q極限値lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))とlim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の求め方は?

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の極限値がわかりません。
(1)は3^nで分母・分子を割って
lim[n→∞](3^n/(2^n+n^2))
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あと、(2)は対数を取って
lim[n→∞]log(2^n+3^n)^(1/n)
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までいけたのですがここから先へ進めません。

Aベストアンサー

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
　n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、

　a(n+1)/a(n) = [(n+1)^2/3^(n+1)]/[n^2/3^n]

と比をとってみると、

　a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 … (3)

ですが、nが大きいときには、2/n ＜ 1, 1/n^2 ＜ 1 なので、(3)は、

　a(n+1)/a(n) ＜ 1

となり、単調に減少することがわかります。
まずこの時点で発散はしないことがわかります。
また、a(n) ＞ 0 なので、lim_{n→∞} a(n) ≧ 0 となります。

もし、a(n) の収束値bが、正の有限値なら、n→∞で、
　a(2n)/a(n) → b/b = 1
になるはずですが、
　a(2n)/a(n) = [(2n)^2/3^{2n}]/[n^2/3^n] = 4/3^n → 0
になるので、収束値bは正の有限値にはなりません。

従って、
　lim_{n→∞} a(n) ＝ 0 … (4)
が得られます。

[(4)の別証]
(3)式 a(n+1)/a(n) = [1+(1/n)]^2/3 = [1 + 2/n + 1/n^2]/3 より、
n＞10で、
　a(n+1)/a(n) ＜ [1 + 2/10 + 1/100]/3 ＜ 2/3
故に、n→∞ のとき、
　0 ＜ a(n) ＝ [a(n)/a(n-1)]・[a(n-1)/a(n-2)] ・…・ [a(12)/a(11)]・a(11)
　　　　　　＜ (2/3)^{n-11}× a(11) = (2/3)^n × (3/2)^{11}a(11) → 0
故に
　lim_{n→∞} a(n) ＝ 0
が得られる。
（別証終わり）


[(2)について]

まず感覚的なことを説明しますと、nが大きいとき、2^nは3^nに比べてはるかに小さくなるので、基本的に、lim[n→∞](2^n+3^n)^(1/n)の、2^n+3^nの部分は3^nに近づくことがわかり、問題の式は(3^n)^{1/n}=3 になることが予想されます。

これを式で言うには、対数をとるより、

　lim_{n→∞} [3^n×{1+(2/3)^n}]^{1/n}
　= lim_{n→∞} 3×[1+(2/3)^n]^{1/n} … (5)

と変形するのが良いでしょう。(2/3)^n → 0 なので、
　[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1 … (6)
なので、
　(5) = 3
になります。


なお、(6)が明らかと思われない場合は、
　1 ＝ 1^{1/n} ＜ [1+(2/3)^n]^{1/n} ＜ 1+(2/3)^n → 1
（∵ a > 1 に対して、a^{1/n} = (a^{1/n})^n = a ）
より、[1+(2/3)^n]^{1/n} → 1
と証明します。

YYoshikawaさん、こんにちは。

[(1)について]

> n^2/3^nが収束するのか発散するのか分かりません。

まず感覚として、ANo.1さんも書かれているように、n=100で考えてみると、
　n^2/3^n = 10000/3^100
ですが、3^2=9 が大体10ですから、3^100 は、10^50 ぐらいなわけで、0が50個ぐらいつきますから、10000などよりは、はるかに大きくなります。つまり n^2/3^n → 0 が予想できます。

数式では次のように証明できます。

まず、n^2/3^n はnが大きいとき単調減少です。
実際、a(n)=n^2/3^n とおき、...続きを読む

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Qlim[x→+∞](x^n/e^x)=0 の証明

lim[x→+∞](x^n/e^x)=0 の証明
「任意のn∈Nに対して、lim[x→+∞](x^n/e^x)=0　が成り立つことをTaylorの定理を用いずに示せ。」という問題です。Taylorの定理を使わない場合、どのように証明すればよろしいのでしょうか？
宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

f(x)＝x^(n+1)/e^x (x＞0) を考える．
f ' (x)＝(x^n(n+1-x))/e^x
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ハサミウチでlim[x→∞]x^n/e^x＝0

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