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合同式というものを見つけたのですが、いまいち良く意味がわかりません。
分かりやすく解説していただけないでしょうか。
出来るだけ数字や文字なんかを使わないで解説していただけたら嬉しいです。
それと、合同式は大学入試では問われるのですか?

A 回答 (3件)

整数a, b の差 a-b が整数m(m>1)の倍数であるとき、



a≡b (mod m)

と書いて、「aとbは(法mに関して)合同である」と言います。

つまり、差がその数(ここではm)の倍数になるなら、aとbはmod mという「世界」では同じと「みなす」ことが出来ます。

因みに上で0≦b<mと制限すると、bはいわゆる「aをmで割った余り」に相当するわけです。


通常は、例えば1-(-5)=6=3*2なので

1≡-5 (mod 3)

などと出来るんですが、「余り」に拘り過ぎると上の式が説明出来ないんですね。
まぁ細かい話です。

上の例では、普通の等式関係では1と-5は別の数ですが、mod 3の世界では同じ…と言う感じです。

他にも挙げると、2-23=-21=7*(-3)なので、

2≡23 (mod 7) …(1)

です。

これを曜日で例えてみましょう。

日曜日を0、月曜日を1、…土曜日を6、とし、(1)にある2や23がある月の日付だとします。

すると(1)の意味するところは、「2日と23日が同じ曜日(因みにこの例だと火曜日)」を意味しています。

2日と23日は、全く別の日ですが、曜日としては同じですよねw

こんな感じで、合同式は日常でも当たり前に使っている考え方です。


普通、余りは、例えばa,bに対して

a=bq+r (0≦r<b)

なるrのことを言いますが(因みにこのようなq,rの組は唯一つであることも分かります)、これを変形すると

a-r=bq

、つまり「a-rがbの倍数」ですね。

正しいかどうかは分かりませんが、合同式の定義はここから来ているんだと思われます。

大学入試への対応は今年か来年入学するかで別れたと思います。
センターなどの筆記でないケースなら大いに使っても良いでしょう。
慣れれば整数問題で非常に強力な道具の一つとなります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2013/03/08 21:47

No.1さんに2点補足です。


(1)moduleではなく、moduloだと思います。(普通は省略して、modのみ書きます。)

(2)大学入試についてですが、少なくとも現高2以上の生徒さんであれば、現役で大学入試を受験する場合は出ません。
場合によっては、合同式を使うと楽になる問題はあるかもしれませんが、知らなくても解けるものばかりだと思います。
現高1から、「整数」分野が新課程として導入されました。ただ合同式は、教科書によっては載っていなかったり、また節の後ろに載っていたりですね。
今まで以上に合同式を用いた方が楽になる問題が出る可能性は高くなるのではないかと思いますが、如何せん新課程移行期なので何とも言えません。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2013/02/05 21:22

合同式とは、「a≡b (module n)」を言葉で書くと、「nを法としてaとbが合同である。

」ですが、これは簡単に言うとaをnで割った余りとbをnで割った余りが同じ、ということです。
例えば、7を3で割った余りは1で10を3で割った余りも1なので、「7≡10 (module 3)」または「3を法として7と10は合同である。」と言えます。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2013/02/05 21:21

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Q合同式 解き方

こんにちは、まだ中学生なのですが学校で合同式の問題が出ました。
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Aベストアンサー

合同式といのは、 本来はいろんな情報があってごちゃごちゃしてるんだけど、そのいらない情報を捨てることによって、知りたいことを見やすくするツールかな。

普通の整数は 負の数もふくめ ー3とか 5 とか そこで 例えば 5の余り だけをみる、つまり 余り以外の情報を捨て去る

1≡6 ≡-4 5≡0≡ー10  とかです。 (普通は  1≡6 mod(5) とか 書くけど 今は省略するね)

この情報を落とした世界で 足し算とか掛け算 引き算 割り算も可能

1+4≡5≡0  2*3≡6≡1

とかね

例えば 2の7乗と3の7情を 足した数が5 で割れるか? を普通に整数で計算するのは大変。
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2^7 + 3^7 ≡ 0 mod (5) を言えばいい

 ^ は べき だから 2^7は 2の7乗 

さて 3 ≡-2 だから  *で掛け算をあらわすと

    2^7 + 3^7 
    ≡ 2^7+ (-2)^7
    ≡  2^7 + (-1)* 2^7
    ≡ (1+(-1)) * 2^7
    ≡ 0 *2^7 
    ≡ 0

したがって 2^7 + 3^7 は 5で割りきれた。

n のときも  

    2^n + 3^n 
    ≡ 2^n + (-2)^n
    ≡  2^n + (-1)^n * 2^n
    ≡ (1+(-1)^n) * 2^n
    ≡0* 2^n 
    ≡ 0

   ( ^ は べき だから 2^nは 2のn乗      *は掛け算)


だから 簡単にできてしまう。 情報を落とすことによって、 簡単に照明が出来てしまう。

合同式といのは、 本来はいろんな情報があってごちゃごちゃしてるんだけど、そのいらない情報を捨てることによって、知りたいことを見やすくするツールかな。

普通の整数は 負の数もふくめ ー3とか 5 とか そこで 例えば 5の余り だけをみる、つまり 余り以外の情報を捨て去る

1≡6 ≡-4 5≡0≡ー10  とかです。 (普通は  1≡6 mod(5) とか 書くけど 今は省略するね)

この情報を落とした世界で 足し算とか掛け算 引き算 割り算も可能

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1
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2
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よろしく御願いします。

Aベストアンサー

移項は、もちろん出来るし、
移項については、mod がなんでもいいです。

ひとつ気をつけておくのは、質問者さん自身
>辺辺を足したり、引いたりする事、両辺に同じものをかけることが出来る
と書いておられる通り、足す引く掛けるは自由だけれども、
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>大学受験レベルで
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Q一次合同式の解き方

3x≡6(mod9)のxを求めよという問題でgcd(3,9)= 3より6は3の倍数であるので解を持つことは分かるのですが,xを具体的に求めることができません.参考にしたサイトは
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Aベストアンサー

そこまで出来ているなら
  3*1 ≡ 3 (mod 9)
の両辺に2を掛けて
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より、x=2が解の一つ。
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自分なら次のように解くかな。
  3x ≡ 3*2 (mod 9)
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  x ≡ 2 (mod 3)
これが答え。


一般に
  a*c ≡ b*c (mod m)
のとき
gcd(c,m)=1ならば
  a ≡ b (mod m)
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