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集合と位相の質問です。
よろしくお願いします。

X,Y⊂R^nとする。

1、X,Yが開集合のとき、X×Yが開集合であることを示せ。

2、X,Yが閉集合のとき、X×Yが閉集合であることを示せ。

3、X,Yがコンパクト集合のとき、X×Yがコンパクト集合であることを示せ。

A 回答 (1件)

p1:R^{2n}→R^n,p1(x,y)=x


p2:R^{2n}→R^n,p2(x,y)=y
のように
p1,p2をR^{2n}からR^nへの射影とすると
R^{2n}の位相はp1,p2が連続となるような
最弱な位相として定義される

1
XがR^nの開集合のとき,
射影p1が連続だから
p1^{-1}(X)=X×R^n
はR^{2n}の開集合となる
YがR^nの開集合のとき,
射影p2が連続だから
p2^{-1}(Y)=R^n×Y
はR^{2n}の開集合となる
開集合の共通部分は開集合だから
p1^{-1}(X)∩p2^{-1}(Y)=(X×R^n)∩(R^n×Y)=X×Y
はR^{2n}の開集合である

2
XがR^nの閉集合のとき,
射影p1が連続だから
p1^{-1}(X)=X×R^n
はR^{2n}の閉集合となる
YがR^nの閉集合のとき,
射影p2が連続だから
p2^{-1}(Y)=R^n×Y
はR^{2n}の閉集合となる
閉集合の共通部分は閉集合だから
p1^{-1}(X)∩p2^{-1}(Y)=(X×R^n)∩(R^n×Y)=X×Y
はR^{2n}の閉集合である

3
Bを任意の有限交叉性を持X×Yの部分集合系とする
Ω={W|WはBを含む有限交叉性を持つX×Yの部分集合系}とする
Ωは帰納的な(⊂を順序とする)順序集合だから
Ωは極大元を持つから
Ωの極大元の1つをWとすると
W'は有限交叉性を持ち{A|A⊂X×Y}⊃W'⊃W⊃B→W'=W
Wは有限交叉性を持つX×Yの極大な部分集合系
だから
{F1,F2}⊂Wに対して→F1∩F2∈W…………(1)
X×Y⊃VがすべてのF∈Wに対してF∩V≠φならばV∈W…(2)
となる
p1(W)={p1(F)|F∈W}
p2(W)={p2(F)|F∈W}
とすると
p1(W),p2(W)は有限交叉性を持つ
Xがコンパクトだから
{cl(p1(F))=(p1(F)の閉包)とすると}
∩_{F∈W}cl{p1(F)}≠φ
Yがコンパクトだから
∩_{F∈W}cl{p2(F)}≠φ
E=∩_{F∈W}cl{p1(F)}×∩_{F∈W}cl{p2(F)}
x1∈∩_{F∈W}cl{p1(F)}
x2∈∩_{F∈W}cl{p2(F)}
x=(x1,x2)∈E
とすると直積位相の定義から
xの任意の近傍Vに対して
p1^{-1}(V1)∩p2^{-1}(V2)⊂V
となるような
x1の近傍V1と,x2の近傍V1がある
任意のF∈Wに対して
V1∩p1(F)≠φ
V2∩p2(F)≠φ
p1^{-1}(V1)∩F≠φ
p2^{-1}(V2)∩F≠φ
(2)から
p1^{-1}(V1)∈W
p2^{-1}(V2)∈W
(1)から
p1^{-1}(V1)∩p2^{-1}(V2)∈W
V∩F≠φ
x∈cl(F)
x∈∩_{F∈W}cl(F)≠φ
∩_{F∈B}cl(F)⊃∩_{F∈W}cl(F)≠φ
∩_{F∈B}cl(F)≠φ

X×Yはコンパクトである
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    • 1

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このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q一様連続でないの厳密な証明は?

微分積分の期末テストで次の問題が出ました。

次の命題の正誤を答えよ。ただし理由も与えること。

命題:関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続である。

この問題で自分は次のように解答しました。

(証)αを与えられた区間内の任意の要素とし、εを任意の整数とする。

あるδとしてmin.(ε/2|α|+1,1)とする。

このとき|x-α|<δ⇒|f(x)-f(α)|=|x^2-α^2|=|xーα|・|x+

α|<・・・・・(略)<δ(2|α|+1)<ε

となり、故にf(x)=x^2は区間[0,∞)で一様連続でない。(なぜなら、δがε

だけでなくαにも依存するから)

この解答で一応マルはもらえたのですが、はじめにδを上のようにしたものだけを考

えていい理由は何なんですかね?もしかしたらεだけでδを表せるかもしれないの

に。考えてはみてるんですがなかなか納得のいく答えが見つかりません。よかった

ら力になってください。よろいくお願いします。

Aベストアンサー

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の問題(ε-δの応用問題は大体そうです)
を考える時は命題を論理式で書いておくと証明すべきことが見やすくなります。
まず「関数f(x)が区間[a,b)で連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∀α∈[a,b) ∃δ>0  ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)
でしたね。つまりこの場合δはεとαの両方に依存しても構わない。
一方「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∃δ>0 ∀α∈[a,b) ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)……(1)
となります。変数δとαに関する記述の位置が入れ替わっていることに注意して下さい。
この場合δはεだけに依存します。
そして「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続でない」という命題はこれの否定命題ですから
∃ε>0 ∀δ>0 ∃α∈[a,b) ∃x(|x - α| < δ かつ |f(x) - f(α)| ≧ ε)……(2)
となります。(論理式の変形規則についてはご存知でしょうね)

つまり「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことを証明するためには,具体的なεと任意のδをとってきてそのε,δの組に
対して(2)式の括弧内の条件を満たすようなα,xがとれることを示せば良いのです。
これを示しましょう。

ε=1/2とし,任意のδを1つ固定し, α≧ 1/(2δ) とします。
x= α+(δ/2) とするとxは(1)式の前提条件
|x - α| < δ を満たします。しかし
|f(x) - f(α)|= |x^2 - α^2| = | (α+(δ/2))^2 - α^2 |= | αδ + δ^2/4 |≧ 1/2 =ε
ですから一様連続でないことがいえました。          ■

証明が間違っているにも関わらず先生が○をくれた理由は推測するしかありませんが
(1)一応「一様連続でない」という結論はあっているので、
証明も正しいものと勘違いした
(2)実は先生もわかってない(まさかね^^;)
(3)一応「一様連続でない」という結論はあっていることと
証明を読んで(間違いではあるものの)一様連続性についても
一応は理解しているものと判断して○にした。

というところが考えられますが本当のところ先生に聞いてみた方が良いでしょうね。

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の...続きを読む

Q集積点が、まったく分かりません!!

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

Qコンパクトな集合の例

コンパクトな集合とコンパクトな集合の積集合が、コンパクトにならない例について、おしえてください

空間がハウスドルフでしたら、そのような例がないことまではわかったのですけど、具体的な例が思いつきませんでした

どうかよろしくおねがいします

Aベストアンサー

積集合って共通部分集合(intersection)で良いんですよね。
直積集合の意味ならチコノフの定理があるし。

それで、例を考えてみました。T1にもなりませんが、T0です。
区間[0,1]に一点pを加えて
X=[0,1]∪{p}
とします。位相は[0,1]の開集合とXを開集合とします。
こうするとXはコンパクトです。またpを含む任意の部分集合もコンパクトです。
# pを被覆する開集合はXだけですから

A=[0,1]
B=(0,1)∪{p}
とするとどちらもコンパクトです。
A∩B=(0,1)
はコンパクトではありません。

Q閉包と集積点と内部

閉包と集積点と内部(及び境界)の関係を、初心者でもわかるように教えていただけないでしょうか。特に、それらが集合において何を意味しているのかを教えていただけないでしょうか。

閉包A ̄は、
任意のxの近傍V(x)において、V(x)∩A≠φ(φは空集合)であるxの集合
集積点a(A)は、
T∩(A-{x})≠φとなるxの集合
(Aの相違な元列が1点Pに近づくときのPのこと…?)
内部i(A)は、
Aに含まれる位相空間(X,τ)の開集合全体の和集合である。i(A)={a∈A:V(a)⊂Aとなる近傍V(a)が存在する}

Aベストアンサー

>現段階で、位相はある全体集合の中に、ある決まりに基づいた開集合、閉集合を規定すること?と理解しています。

それは正しいのですが,もしかして集合には
開集合と閉集合しかないと思ってませんか?
閉集合の定義はたしかに「開集合の補集合」ですが,
それは決して
「開集合ではない集合を閉集合という」
という意味ではありません.
これは初心者がよくおかす勘違いです.

例:
(0,1] は開集合でも閉集合でもない
(0,1] の内点集合は (0,1)
(0,1] の閉包は [0,1]
(0,1] の集積点からなる集合は [0,1]
(0,1] の境界は {0,1}

自分で具体例を構築する訓練をしてください.
非数学科の方が応用が主眼なので,より複雑なものが
でてくる傾向があります.
#顕著な例は,金融方面の確率偏微分方程式とか
#工学系だと,なにかの状態空間の議論かな,位相とか使いそうなの.

Q上極限、下極限が理解できません

大学で習っているのですが、limsupやliminfなどが定義を見ても、どういう意味なのか理解できません。

上界、下界、上限、下限については例があったので、なんとか理解することができました。


X={1,2,3}⊆Zのとき、下界の1つとして0がとれる。

こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

上極限

sin(n)で考えましょう。nは自然数です。
sin(n)は振動しているので極限はないけど、
「nが大きい時(というか初めからだけど)1を超えることはない」
「1付近の値を何回も(無限回)とる」
から1が上極限です。
ことばでいえば、
「ずっと先のほうでは、上極限の値より大きくならない」
(極限の意味でです。∀ε>0に対し上極限+εより大きくならないってことです)



この例では下極限はー1ですね。

(sin(n)-1)*n の場合だと、
上極限は0で、下極限は「なし」(-∞)となりますね。

Qf(x,y)=√|xy|が原点で微分不可能と示す

お世話になります、以下の問題を解くにあたって極座標変換を使いたいのですが、その用法に自信がありません。

お手数をお掛けいたしますが、添削をお願いしたいのです。

>>f(x,y)の点(a,b)での全微分可能の定義

lim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+Bk)}/√(h^2+k^2) =0より
f(x,y)=√|xy|が原点で微分不可能であることを示したいのです。


k=0の時、定義はlim[h→0] {f(a+h,b)-f(a,b)-Ah} / h =0
lim[h→0] {f(a+h,b)-f(a,b) } / h =Ah/h
左辺がx座標の偏微分係数になっているので、fx(a,b)=A
同様にh=0のとき、fy(a,b)=B

∴定義はlim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-( fx(a,b)h+ fy(a,b)k)}/√(h^2+k^2) =0

a=0,b=0として、

f(0,0)=0 , f(0+h,0+k)= √|hk|
f(x,y)=√|xy|の原点での偏部分係数は
fx(0,0)= lim[h→0] {f(0+h,0)-f(0,0)} / h = lim[h→0] 0/h =0
fy(0,0)= lim[k→0] {f(0,0+k)-f(0,0)} / k = lim[k→0] 0/k =0

これらを定義に代入して、
lim[(h,k)→0] √|hk|/√(h^2+k^2)…(※) が0に収束するかについて

点(0,0) と点(0+h,0+k)を結ぶ直線をrとして、点(0,0)と点(0+h,0)を結ぶ直線とrのなす角をθとする。

cosθ=h/rよりh=rcosθ , sinθ=k/rよりk=rsinθ
(ただし、r>0 ,0≦θ≦π/2 , (h,k)→0 ⇒ r→0)

(※)に代入して、lim[r→0] √|r^2cosθsinθ|/√{r^2(cos^2θ+sin^2θ)} , r>0より
lim[r→0] √(r^2| cosθsinθ|) / √r^2
= lim[r→0] (r√| cosθsinθ| )/ r
= lim[r→0] √| cosθsinθ|= √| cosθsinθ|

∴ 極限値はθに左右される。つまり全微分不可能である。

お世話になります、以下の問題を解くにあたって極座標変換を使いたいのですが、その用法に自信がありません。

お手数をお掛けいたしますが、添削をお願いしたいのです。

>>f(x,y)の点(a,b)での全微分可能の定義

lim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+Bk)}/√(h^2+k^2) =0より
f(x,y)=√|xy|が原点で微分不可能であることを示したいのです。


k=0の時、定義はlim[h→0] {f(a+h,b)-f(a,b)-Ah} / h =0
lim[h→0] {f(a+h,b)-f(a,b) } / h =Ah/h
左辺がx座標の偏微分係数になっているので、fx(a,b)=A
同様にh=0のとき...続きを読む

Aベストアンサー

いいんじゃない?
語り口はモタついているけれど、
内容に間違いは見られない。
正解。

Q級数Σa_n が絶対収束すれば、・・・

級数Σa_n が絶対収束すれば、級数Σ(a_n)^2は収束することを示したいです。(nは1から∞)

対偶を使って証明したらいいのかとも考えましたが、どうもうまくいきません;;

どなたか教えてください。

Aベストアンサー

Σa_nが収束するのであれば、あるNが存在して、n>Nならば|a_n|<1としてよいので、
n>Nの時|(a_n)^2|≦|a_n|^2<|a_n|

上の式を使えば、Σ(a_n)^2が絶対収束することが示せると思います。

Q教育実習時期について、怒られました

少し長くなりますが、聞いてください。

私はいま大学4年生です。

今回地震の影響で、就職活動が大幅にずれ込んでしまい、6月に選考開始となりました。

6月には教育実習が控えていたので、心配になりましたが、私の大学には教育実習に対応した相談窓口がありません。

そこで大学のキャリアセンターに問い合わせたところ、
企業か、実習高校に連絡して事情を話してみるしかないと言われました。

その時はまだ、3月中でしたので、就職活動は6月開始ということはまだ未定で、とりあえず採用活動は中止・延期ということだけが発表されており、いつから開始されるかは未定とのことでした。

実習高校の教育実習期間は、一年前の時に内諾書をもらいに行く段階で、6月と9月のどちらかを選べるといわれていたのですが、私は卒業論文に支障が出ると困ると思ったことに加えて、当初の予定では就職活動は4月ごろに内定が出て終了しているはずだったので、教育実習に影響はないと思い、6月を選びました。

3月中に、私の担当の先生の方に電話をかけ、
企業の採用開始時期が地震の影響で6月にずれ込んでしまい、教育実習とかぶってしまったのですがどうしたらいいかと相談しました。

その時に、できたら後日直接お伺いして、直接お話をしたいと考えていました。

すると、教科主任の先生の電話を代わられました。

その際、私はもし可能であれば、大変申し訳ないのですが教育実習の期間を9月に変えてもらえないかとお伺いしました。

失礼にあたるのはわかっていましたが、教職免許も今まで頑張ってきた分しっかり取りたいと考えていたので、お願いしました。

わたしとしては、企業と高校に、早い段階からアプローチしておいたほうが迷惑が掛からないのではないかと考えた結果でした。

その電話先でかなり怒られましたが、職員会議にかけるので、連絡を待っていてほしいと言われました。

しかし、いつまで待っても一向に連絡が来ないのでこちらから問い合わせてみたところ、
再び電話口でかなり怒られ、実習期間は9月に変更してもらえたのですが、
後日高校に来る日時を指定され、一方的に電話を切られました。

怒られた内容は、一回目も二回目もだいたい同じようなものでした。

教育実習は本来、高校のボランティアで行っているもので、実習生の都合にいちいち対応していられない

このような場合キャンセルするのが当然なのに、普通は変更は認められていない

先生になる気もないのに中途半端な姿勢で臨まれては迷惑

だいたい電話一本で済ませようとするのがおかしい

企業にもお願いしたところずらしてもらえても実習期間内でした。

私は初めの電話は、相談のつもりで電話をしました。
地震で、どうしたらいいのか全く分かりませんでしたが、相談できるところもなかったので電話をしました。

そこで主任の先生に突然電話相手が代わり、時期の変更などを聞いてみたところ話が進みました。

直接行くつもりでしたが電話だけで話がすんでしました。

連絡を待つように言われたのでかけなおしてみたところ怒られましたが、
私はキャンセルしたほうが迷惑になるのではないかと考えていたので、時期の変更意外に思いつきませんでした。地震という非常時だったので、何か措置を引いてくれるのではと、少し期待していました。

教員になるつもりはありませんが、
途中まで本気で先生になりたいと思ってきました。しかし在学中にやりたいことが見つかったので、民間企業を志望する結果となりました。
しかし今まで大変な教職課程を受講してきた身として、しっかりと免許を取りたい、という気持ちがありました。

電話一本で済ませるつもりもなかったのでとても不本意でした。

加えて高校の時の先生に怒られるというのは、とても精神的ダメージが大きく、来週に実習校に呼び出されたわけですが、とても気が重いです。

私が悪いのはわかります。
周りの友人は、この非常時なんだから高校が地震に合わせた対応をしてくれてもいいんじゃないかと言ってくれますが、本来ならば、実習期間の変更はとても失礼です。

しかし怒られている内容がなんだか腑に落ちなくてもやもやしています。
なんだか気持ちがまったく伝わっていなくて残念な気持ちになりました。

それに職員会議にかけられた以上、先生方の周知の事実なので、実習中の風当りはとてもきついのではないかと思います。

私の取った行動は間違えだったのでしょうか。
大学には相談機関がないので、いまとてもつらいです。

またこれからどうしたらいいのか、とても気持ちが落ち込んでいます。
実習に行きたくないですが、これ以上迷惑もかけられません。

来週高校に行くと思うと気が重いです。
なにかアドバイスがあればおねがいします。

少し長くなりますが、聞いてください。

私はいま大学4年生です。

今回地震の影響で、就職活動が大幅にずれ込んでしまい、6月に選考開始となりました。

6月には教育実習が控えていたので、心配になりましたが、私の大学には教育実習に対応した相談窓口がありません。

そこで大学のキャリアセンターに問い合わせたところ、
企業か、実習高校に連絡して事情を話してみるしかないと言われました。

その時はまだ、3月中でしたので、就職活動は6月開始ということはまだ未定で、とりあえず採用活動は中止・延期とい...続きを読む

Aベストアンサー

こんにちは。

…高校側の応対は客観的に見て非常に納得の行くものですね。
むしろ受け入れてもらえてよかったと思います。

あなたとしては地震や就活のことがあり
また「別に初めから電話で済ませようとしてたわけではない」という気持ちも
分かります。
ただ、相手にはそれはわかりませんよね。

社会人になるってそういうことなんですよ。

あなたの中ではやはり、色々な面で
「仕方ないじゃん」という甘えがあったと思います。
それを相手が汲んでくれてもいいだろう…という甘えです。
それは学生時代の特権です。
教育実習を迎え入れる高校も、あなたを学生としてではなく
「ちゃんとした社会人になれるか」という観点で見ています。
こういう場合に「そうだね、じゃあしょうがないよね~」という対応だったら
むしろあなたを社会人として見ていないということですから
「そういうナアナアの対応には憤慨してもいい」というくらいの気持ちで
これからはやっていかなければなりませんね。

高校側はあなたに本当に良い勉強をさせてくれたと思います。
これが社会人の一発目の洗礼だと真摯に受け止めて
言い訳はせず、非は認め、一生懸命実習には取り組む
それしかないと思います。
あなたの実習期間を見て、高校の先生方もまた色々考えられることがあるでしょう。
大丈夫ですよ。

どうか頑張ってください。

こんにちは。

…高校側の応対は客観的に見て非常に納得の行くものですね。
むしろ受け入れてもらえてよかったと思います。

あなたとしては地震や就活のことがあり
また「別に初めから電話で済ませようとしてたわけではない」という気持ちも
分かります。
ただ、相手にはそれはわかりませんよね。

社会人になるってそういうことなんですよ。

あなたの中ではやはり、色々な面で
「仕方ないじゃん」という甘えがあったと思います。
それを相手が汲んでくれてもいいだろう…という甘えです。
それは学生時代の特権で...続きを読む


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